F. Kekongruenan Segiempat

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat membuktikan sifat segiempat menggunakan kekongruenan segitiga.
2. Siswa dapat menggunakan diagonal untuk membagi segiempat menjadi dua segitiga kongruen.
3. Siswa dapat menerapkan syarat SSS, SSD, atau SDS pada segiempat.

Materi

Strategi: Membagi Segiempat dengan Diagonal

Untuk membuktikan sifat-sifat segiempat (misalnya jajar genjang atau persegi panjang), diagonal sering digunakan untuk membagi segiempat menjadi dua segitiga. Jika kedua segitiga tersebut terbukti kongruen (menggunakan syarat SSS, SSD, atau SDS), maka sifat-sifat segiempat tersebut (seperti sisi berhadapan sama panjang, sudut berhadapan sama besar) dapat disimpulkan.

Contoh Penerapan: Jajar Genjang

Pada jajar genjang $ABCD$, diagonal $AC$ membagi jajar genjang menjadi $\triangle ABC$ dan $\triangle CDA$. Karena sisi-sisi berhadapan pada jajar genjang sejajar, terbentuk sudut-sudut berseberangan yang sama besar (sifat garis sejajar dipotong transversal), sehingga dengan syarat SDS dapat dibuktikan $\triangle ABC \cong \triangle CDA$. Akibatnya, $AB=CD$ dan $BC=AD$ (sisi berhadapan jajar genjang sama panjang).

Kekongruenan pada Persegi dan Belah Ketupat

Diagonal persegi dan belah ketupat membagi bangun tersebut menjadi segitiga-segitiga kongruen (bahkan pada persegi, kedua diagonal membaginya menjadi 4 segitiga siku-siku sama kaki yang kongruen), yang bisa dibuktikan menggunakan syarat SSS (karena semua sisi persegi/belah ketupat sama panjang).

Contoh

Contoh 1: Pada jajar genjang $PQRS$, diagonal $PR$ membagi menjadi $\triangle PQR$ dan $\triangle RSP$. Diketahui $PQ=8$ cm, $QR=6$ cm, dan $RS=8$ cm, $SP=6$ cm. Buktikan $\triangle PQR \cong \triangle RSP$ menggunakan syarat SSS.

Penyelesaian: $PQ=RS=8$ cm (sisi berhadapan jajar genjang sama panjang); $QR=SP=6$ cm (sisi berhadapan sama panjang); $PR=PR$ (sisi yang sama, berhimpit sebagai diagonal). Ketiga pasang sisi sama panjang, sehingga $\triangle PQR \cong \triangle RSP$ (SSS).

Contoh 2: Sebuah persegi $ABCD$ memiliki diagonal $AC$ dan $BD$ yang berpotongan di titik $O$. Jelaskan mengapa keempat segitiga yang terbentuk ($\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$) kongruen satu sama lain.

Penyelesaian: Diagonal persegi sama panjang dan saling membagi dua sama panjang serta tegak lurus, sehingga $OA=OB=OC=OD$ (setengah diagonal) dan sudut-sudut di titik $O$ semuanya $90°$. Dengan syarat SSD (dua sisi sama panjang, sudut apit $90°$), keempat segitiga tersebut kongruen.

Contoh 3: Pada belah ketupat $KLMN$, diagonal $KM$ membagi menjadi $\triangle KLM$ dan $\triangle KNM$. Jika $KL=LM=8$ cm dan $KN=NM=8$ cm (semua sisi belah ketupat sama panjang), buktikan $\triangle KLM \cong \triangle KNM$.

Penyelesaian: $KL=KN=8$; $LM=NM=8$; $KM=KM$ (sisi berhimpit). Ketiga pasang sisi sama panjang, sehingga $\triangle KLM \cong \triangle KNM$ (SSS).

Latihan

1. Pada jajar genjang $ABCD$, diagonal $BD$ membagi menjadi $\triangle ABD$ dan $\triangle CDB$. Sebutkan sisi apa saja yang bersesuaian dan sama panjang pada kedua segitiga tersebut.

2. Jelaskan mengapa diagonal jajar genjang dapat digunakan untuk membuktikan sisi-sisi berhadapan sama panjang.

3. Diagonal-diagonal pada persegi memiliki sifat ….

   A. Tidak sama panjang dan tidak tegak lurus B. Sama panjang dan saling tegak lurus C. Sama panjang tetapi tidak tegak lurus D. Tidak sama panjang tetapi tegak lurus

4. Pada belah ketupat $PQRS$, diagonal $PR$ dan $QS$ berpotongan di titik $T$. Jika $\triangle PTQ \cong \triangle PTS$ (SSD), sebutkan sisi dan sudut yang menjadi dasar pembuktian ini.

5. Sebuah persegi panjang $ABCD$ memiliki diagonal $AC$. Jelaskan mengapa $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ (gunakan syarat SDS, dengan memperhatikan sudut siku-siku dan sisi berhadapan).

6. Mengapa segiempat sembarang (bukan jajar genjang/persegi/dsb) TIDAK bisa langsung dibuktikan memiliki dua segitiga kongruen hanya dari diagonalnya, tanpa informasi tambahan?

Jawab:

1. $AB=CD$ (sisi berhadapan), $AD=CB$ (sisi berhadapan), dan $BD=BD$ (sisi berhimpit/diagonal yang sama).
2. Karena diagonal membagi jajar genjang menjadi dua segitiga yang terbukti kongruen (memakai sifat sudut sejajar-transversal dan sisi berhimpit), sehingga sisi-sisi bersesuaian pada kedua segitiga itu — yang merupakan sisi-sisi berhadapan jajar genjang — otomatis sama panjang.
3. B.
4. $PT=PT$ (sisi berhimpit, atau bisa juga $QT=ST$ jika diagonal saling membagi dua sama panjang), sudut $\angle PTQ=\angle PTS=90°$ (diagonal belah ketupat saling tegak lurus), dan $PQ=PS$ (sisi belah ketupat sama panjang).
5. $AB=CD$ dan $BC=AD$ (sisi berhadapan persegi panjang sama panjang dan sejajar), $\angle B=\angle D=90°$ (semua sudut persegi panjang siku-siku); dengan sisi $AC$ berhimpit dan sudut siku-siku sebagai sudut apit pada kombinasi sisi yang sesuai, dapat dibuktikan kongruen melalui salah satu syarat (SSS lebih langsung karena semua sisi diketahui sama, tapi SDS/SSD juga bisa dipakai tergantung data yang tersedia).
6. Karena segiempat sembarang tidak memiliki sifat khusus (seperti sisi berhadapan sejajar/sama panjang, atau sudut siku-siku) yang menjamin kedua segitiga hasil pembagian diagonal memiliki sisi/sudut bersesuaian yang sama; tanpa sifat khusus tersebut, tidak ada dasar untuk membuktikan kekongruenan.

Kuis Formatif

1. Apa fungsi diagonal dalam membuktikan sifat-sifat segiempat menggunakan kekongruenan?
2. Pada jajar genjang $WXYZ$, diagonal $WY$ membagi menjadi $\triangle WXY$ dan $\triangle YZW$. Sebutkan sisi yang berhimpit pada kedua segitiga tersebut.
3. Mengapa keempat segitiga hasil pembagian oleh kedua diagonal pada persegi selalu kongruen satu sama lain?
4. Sebutkan syarat kekongruenan yang paling tepat digunakan untuk membuktikan dua segitiga hasil pembagian diagonal belah ketupat kongruen, dan jelaskan alasannya.
5. Jelaskan mengapa diagonal jajar genjang TIDAK selalu sama panjang, berbeda dengan diagonal persegi panjang.

Jawaban kunci:

1. Diagonal membagi segiempat menjadi dua segitiga; jika kedua segitiga terbukti kongruen, sifat-sifat segiempat (sisi berhadapan sama panjang, sudut berhadapan sama besar, dst) dapat disimpulkan.
2. Sisi $WY$ (diagonal itu sendiri, berhimpit pada kedua segitiga).
3. Karena diagonal persegi sama panjang, saling membagi dua sama panjang, dan saling tegak lurus, sehingga keempat segitiga memiliki dua sisi sama panjang (setengah diagonal) dengan sudut apit $90°$ (syarat SSD) yang identik untuk semuanya.
4. Syarat SSS, karena semua sisi belah ketupat sama panjang dan diagonal yang membaginya menjadi sisi berhimpit, sehingga ketiga pasang sisi kedua segitiga dapat dipastikan sama panjang.
5. Karena jajar genjang hanya mensyaratkan sisi berhadapan sejajar dan sama panjang (tanpa syarat sudut siku-siku), sehingga bentuknya bisa “miring” dan diagonalnya tidak sama panjang; sedangkan persegi panjang memiliki sudut siku-siku yang membuat kedua diagonalnya selalu sama panjang.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.