G. Jarak Dua Titik Koordinat

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menurunkan rumus jarak dua titik pada bidang koordinat menggunakan Teorema Pythagoras.
2. Siswa dapat menghitung jarak dua titik pada bidang koordinat.
3. Siswa dapat menerapkan rumus jarak dalam soal kontekstual.

Materi

Menurunkan Rumus Jarak

Diberikan dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ pada bidang koordinat. Jika ditarik garis bantu horizontal dan vertikal dari kedua titik, akan terbentuk segitiga siku-siku dengan:

• Sisi horizontal (selisih $x$) $=|x_2-x_1|$.
• Sisi vertikal (selisih $y$) $=|y_2-y_1|$.
• Jarak antara kedua titik adalah sisi miring segitiga tersebut.

Menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh rumus jarak:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Contoh

Contoh 1: Tentukan jarak antara titik $A(2,3)$ dan $B(6,6)$.

Penyelesaian: $d=\sqrt{(6-2)^2+(6-3)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

Contoh 2: Tentukan jarak antara titik $P(-1,2)$ dan $Q(5,10)$.

Penyelesaian: $d=\sqrt{(5-(-1))^2+(10-2)^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Contoh 3 (soal kontekstual): Rumah Andi berada di titik $(0,0)$ dan sekolahnya di titik $(8,15)$ pada peta (satuan km). Tentukan jarak lurus dari rumah Andi ke sekolah.

Penyelesaian: $d=\sqrt{(8-0)^2+(15-0)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ km.

Latihan

1. Tentukan jarak antara titik $A(1,1)$ dan $B(4,5)$.

2. Tentukan jarak antara titik $C(-2,3)$ dan $D(4,3)$.

3. Jarak antara titik $(0,0)$ dan $(6,8)$ adalah ….

   A. $8$ B. $10$ C. $12$ D. $14$

4. Tentukan jarak antara titik $E(-3,-4)$ dan $F(0,0)$.

5. Titik $G(2,5)$ dan $H(2,-3)$. Tentukan jarak keduanya (perhatikan kedua titik memiliki $x$ yang sama).

6. Sebuah taman berbentuk peta dengan gerbang di $(0,0)$ dan kolam di $(9,12)$ (satuan meter). Tentukan jarak lurus dari gerbang ke kolam.

Jawab:

1. $d=\sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
2. $d=\sqrt{(4-(-2))^2+(3-3)^2}=\sqrt{36+0}=6$.
3. B. $d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
4. $d=\sqrt{(0-(-3))^2+(0-(-4))^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
5. $d=\sqrt{(2-2)^2+(-3-5)^2}=\sqrt{0+64}=8$.
6. $d=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ meter.

Kuis Formatif

1. Tuliskan rumus jarak antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$.
2. Tentukan jarak antara titik $(3,4)$ dan $(0,0)$.
3. Tentukan jarak antara titik $(-2,-3)$ dan $(2,0)$.
4. Tentukan jarak antara titik $(5,7)$ dan $(5,1)$.
5. Jelaskan bagaimana Teorema Pythagoras digunakan untuk menurunkan rumus jarak dua titik.

Jawaban kunci:

1. $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
2. $d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
3. $d=\sqrt{(2-(-2))^2+(0-(-3))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.
4. $d=\sqrt{(5-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{0+36}=6$.
5. Selisih koordinat $x$ dan $y$ dari kedua titik membentuk dua sisi siku-siku segitiga bantu, sedangkan jarak antara kedua titik adalah sisi miringnya, sehingga berlaku $d^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.