G. Pengaruh Perubahan Data

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan pengaruh perubahan seluruh data terhadap mean dan median.
2. Siswa dapat menjelaskan pengaruh penambahan data outlier terhadap mean dan median.
3. Siswa dapat menjelaskan mengapa median lebih tahan (robust) terhadap outlier dibanding mean.

Materi

Pengaruh Jika Semua Data Ditambah/Dikurangi Bilangan Tetap

Jika setiap data ditambah (atau dikurangi) dengan bilangan $k$ yang sama, maka mean dan median juga akan bertambah (atau berkurang) sebesar $k$. Modus juga bergeser sebesar $k$ jika nilai modusnya termasuk yang berubah.

Pengaruh Jika Semua Data Dikalikan Bilangan Tetap

Jika setiap data dikalikan dengan bilangan $k$, maka mean dan median juga akan terkali $k$.

Pengaruh Data Ekstrem (Outlier)

Ini adalah konsep PALING PENTING dalam submateri ini:

• Mean SANGAT terpengaruh oleh outlier (nilai yang sangat besar/kecil dibanding data lain), karena mean menghitung menggunakan JUMLAH SELURUH data.
• Median RELATIF TIDAK terpengaruh oleh outlier, karena median hanya bergantung pada POSISI data di tengah setelah diurutkan, bukan nilai ekstremnya.

Karena itu, median sering disebut ukuran yang lebih robust (tahan) terhadap outlier dibanding mean.

Contoh

Contoh 1 (data ditambah bilangan tetap): Data awal: 10, 12, 14 dengan mean $=12$. Jika setiap data ditambah 5, berapa mean data baru?

Penyelesaian:

• Data baru: 15, 17, 19.
• Mean baru $=\frac{15+17+19}{3}=\frac{51}{3}=17$, sama dengan mean lama ditambah 5 ($12+5=17$). Terbukti sesuai pola.

Contoh 2 (data dikali bilangan tetap): Data awal: 4, 6, 8 dengan mean $=6$. Jika setiap data dikalikan 3, berapa mean data baru?

Penyelesaian:

• Data baru: 12, 18, 24.
• Mean baru $=\frac{12+18+24}{3}=\frac{54}{3}=18$, sama dengan mean lama dikali 3 ($6\times3=18$).

Contoh 3 (pengaruh outlier): Data nilai 5 siswa: 70, 72, 75, 73, 71. Hitung mean dan median. Lalu, jika data keenam yaitu 20 (siswa yang sakit) ditambahkan, hitung ulang mean dan median. Bandingkan seberapa besar perubahan masing-masing.

Penyelesaian:

• Data awal (5 siswa): mean $=\frac{70+72+75+73+71}{5}=\frac{361}{5}=72{,}2$; median (urutkan: 70,71,72,73,75) $=72$.
• Data baru (6 siswa, +20): mean $=\frac{361+20}{6}=\frac{381}{6}=63{,}5$; median (urutkan: 20,70,71,72,73,75) $=\frac{71+72}{2}=71{,}5$.
• Mean turun drastis dari $72{,}2$ menjadi $63{,}5$ (turun $8{,}7$), sedangkan median hanya turun dari $72$ menjadi $71{,}5$ (turun $0{,}5$). Ini membuktikan median jauh lebih tahan terhadap outlier dibanding mean.

Latihan

1. Data: 8, 10, 12 dengan mean 10. Jika setiap data dikurangi 3, berapa mean data baru?

2. Data: 5, 7, 9 dengan mean 7. Jika setiap data dikalikan 4, berapa mean data baru?

3. Jika terdapat data dengan satu nilai sangat ekstrem (outlier), ukuran yang perubahannya PALING KECIL akibat outlier tersebut adalah ….

   A. Mean B. Jumlah data C. Median D. Jangkauan

4. Data nilai 4 siswa: 80, 82, 78, 84. Hitung mean dan median. Lalu tambahkan data outlier 30 (siswa tidak mengikuti ujian dengan baik), hitung ulang mean dan median, dan bandingkan perubahannya.

5. Jelaskan mengapa mean lebih sensitif terhadap outlier dibanding median.

6. Data gaji karyawan (juta rupiah): 5, 5, 5, 6, 6, 50 (direktur). Mana yang lebih mewakili “gaji khas” karyawan: mean atau median? Jelaskan.

Jawab:

1. $10-3=7$.
2. $7\times4=28$.
3. C.
4. Data awal: mean $=\frac{80+82+78+84}{4}=81$; median $=\frac{80+82}{2}=81$. Data baru (+30): mean $=\frac{324+30}{5}=70{,}8$; median (urutkan: 30,78,80,82,84) $=80$. Mean turun dari 81 ke 70,8 (turun 10,2), median hanya turun dari 81 ke 80 (turun 1).
5. Karena mean dihitung dari jumlah SELURUH data dibagi banyak data, sehingga satu nilai yang sangat jauh dari yang lain akan menggeser jumlah total secara signifikan; median hanya bergantung pada posisi tengah data terurut, sehingga nilai ekstrem di ujung tidak banyak berpengaruh.
6. Median (urutkan: 5,5,5,6,6,50) $=\frac{5+6}{2}=5{,}5$ juta lebih mewakili “gaji khas” karyawan, karena mean $=\frac{5+5+5+6+6+50}{6}=\frac{77}{6}\approx12{,}83$ juta jauh lebih tinggi akibat gaji direktur yang menjadi outlier, sehingga tidak mencerminkan gaji karyawan pada umumnya.

Kuis Formatif

1. Jika setiap data ditambah bilangan $k$, apa yang terjadi pada mean dan median?
2. Mengapa median disebut lebih “robust” (tahan) terhadap outlier dibanding mean?
3. Data: 10, 12, 14 dengan mean 12. Jika setiap data dikalikan 2 lalu ditambah 1, berapa mean data baru?
4. Data waktu lari (detik) 5 siswa: 12, 13, 11, 14, 45 (siswa cedera). Ukuran mana (mean atau median) yang lebih tepat mewakili waktu lari “khas” kelompok ini? Jelaskan.
5. Sebutkan satu contoh situasi nyata di mana outlier bisa membuat mean menyesatkan.

Jawaban kunci:

1. Mean dan median juga bertambah sebesar $k$.
2. Karena median hanya bergantung pada posisi data di tengah setelah diurutkan, bukan nilai sebenarnya dari data ekstrem, sehingga tidak banyak bergeser meskipun ada nilai yang sangat besar/kecil.
3. Mean baru $=(12\times2)+1=25$ (mengikuti pola: setiap data dikali 2 lalu ditambah 1, mean juga demikian).
4. Median lebih tepat, karena mean $=\frac{12+13+11+14+45}{5}=19$ akan condong naik akibat outlier 45, sedangkan median (urutkan: 11,12,13,14,45) $=13$ lebih mewakili waktu lari siswa pada umumnya.
5. Misalnya rata-rata gaji suatu perusahaan bisa tampak sangat tinggi jika dihitung dengan mean karena termasuk gaji direktur/pemilik yang jauh lebih besar dari gaji karyawan pada umumnya.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.