A. Konsep SPLDV

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
2. Siswa dapat membedakan SPLDV dengan PLSV dan persamaan linear dua variabel tunggal.
3. Siswa dapat memeriksa apakah suatu pasangan nilai merupakan penyelesaian SPLDV.
4. Siswa dapat menjelaskan kemungkinan banyaknya penyelesaian SPLDV.

Materi

Pengertian SPLDV

SPLDV adalah dua persamaan linear dua variabel yang harus diselesaikan secara bersama-sama. Bentuk umum:

$$ax + by = c$$ $$px + qy = r$$

dengan $x$ dan $y$ adalah variabel, sedangkan $a, b, c, p, q, r$ adalah bilangan yang diketahui.

Penyelesaian SPLDV adalah pasangan nilai $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan sekaligus, bukan hanya salah satunya.

Perbedaan dengan PLSV dan persamaan linear dua variabel tunggal

• PLSV (persamaan linear satu variabel): hanya punya satu variabel, penyelesaiannya satu nilai tunggal. Contoh: $2x+3=9$.
• Persamaan linear dua variabel tunggal (hanya satu persamaan): mempunyai dua variabel tapi hanya satu persamaan, sehingga penyelesaiannya berupa banyak pasangan $(x,y)$ yang membentuk sebuah garis lurus.
• SPLDV (dua persamaan sekaligus): karena harus memenuhi dua persamaan secara bersamaan, penyelesaiannya biasanya hanya satu pasangan $(x, y)$, yaitu titik potong kedua garis.

Tiga kemungkinan banyaknya penyelesaian

1. Satu penyelesaian: kedua garis berpotongan di satu titik (kasus paling umum).
2. Tidak ada penyelesaian: kedua garis sejajar (gradien sama, tidak pernah berpotongan).
3. Tak terhingga penyelesaian: kedua garis berimpit (persamaan kedua adalah kelipatan dari persamaan pertama).

Contoh

Contoh 1: Periksa apakah $(2, 3)$ merupakan penyelesaian dari SPLDV berikut: $$x + y = 5$$ $$2x - y = 1$$

Penyelesaian:

• Substitusi ke persamaan 1: $2 + 3 = 5$ (benar).
• Substitusi ke persamaan 2: $2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$ (benar).

Karena memenuhi kedua persamaan, $(2, 3)$ adalah penyelesaian SPLDV tersebut.

Contoh 2: Periksa apakah $(1, 4)$ merupakan penyelesaian dari SPLDV berikut: $$x + y = 5$$ $$2x - y = 1$$

Penyelesaian:

• Substitusi ke persamaan 1: $1 + 4 = 5$ (benar).
• Substitusi ke persamaan 2: $2(1) - 4 = 2 - 4 = -2 \neq 1$ (salah).

Karena tidak memenuhi persamaan 2, $(1, 4)$ bukan penyelesaian SPLDV tersebut, meskipun memenuhi persamaan 1.

Contoh 3: Tentukan apakah SPLDV berikut memiliki satu penyelesaian, tidak ada penyelesaian, atau tak terhingga penyelesaian: $$2x + y = 6$$ $$4x + 2y = 12$$

Penyelesaian: Persamaan kedua adalah 2 kali persamaan pertama ($2 \times (2x+y) = 2 \times 6$ menghasilkan $4x+2y=12$), sehingga kedua persamaan itu sebenarnya menggambarkan garis yang sama (berimpit). SPLDV ini memiliki tak terhingga banyak penyelesaian.

Latihan

1. Periksa apakah $(3, 2)$ merupakan penyelesaian dari SPLDV: $x+y=5$ dan $x-y=1$.

2. Periksa apakah $(0, 5)$ merupakan penyelesaian dari SPLDV: $2x+y=5$ dan $x+y=5$.

3. Manakah pasangan berikut yang merupakan penyelesaian dari $x+y=5$ dan $x-y=1$?

   A. $(2, 3)$ B. $(2, 1)$ C. $(4, 3)$ D. $(3, 2)$

4. Tentukan apakah SPLDV berikut punya satu penyelesaian, tidak ada penyelesaian, atau tak terhingga: $x+2y=4$ dan $2x+4y=10$.

5. Jelaskan perbedaan mendasar antara PLSV dan SPLDV.

6. Mengapa penyelesaian SPLDV umumnya berupa satu pasangan nilai $(x,y)$, bukan satu nilai tunggal?

Jawab:

1. $3+2=5$ (benar), $3-2=1$ (benar). $(3,2)$ adalah penyelesaian.
2. $2(0)+5=5$ (benar), $0+5=5$ (benar). $(0,5)$ adalah penyelesaian.
3. D. Uji $(3,2)$: $3+2=5$ (benar) dan $3-2=1$ (benar). Pasangan lain gagal di salah satu persamaan, misal $(2,3)$: $2+3=5$ (benar) tetapi $2-3=-1\neq1$ (salah).
4. Koefisien $x$ dan $y$ pada persamaan kedua adalah 2 kali persamaan pertama ($2\times1=2$, $2\times2=4$), tetapi konstanta $2\times4=8\neq10$. Karena rasio konstanta berbeda dari rasio koefisien, kedua garis sejajar, sehingga tidak ada penyelesaian.
5. PLSV hanya memiliki satu variabel dan satu persamaan, penyelesaiannya satu nilai. SPLDV memiliki dua variabel dan dua persamaan yang harus dipenuhi bersamaan, penyelesaiannya berupa pasangan nilai $(x,y)$.
6. Karena ada dua variabel yang harus ditentukan nilainya sekaligus agar memenuhi kedua persamaan, sehingga jawabannya berbentuk pasangan koordinat, bukan satu angka.

Kuis Formatif

1. Apa yang dimaksud dengan penyelesaian SPLDV?
2. Periksa apakah $(4, 1)$ merupakan penyelesaian dari $x+y=5$ dan $3x-y=11$.
3. Sebutkan tiga kemungkinan banyaknya penyelesaian SPLDV.
4. SPLDV $x+y=4$ dan $2x+2y=8$ memiliki berapa penyelesaian? Jelaskan alasannya.
5. Mengapa suatu pasangan $(x,y)$ harus memenuhi KEDUA persamaan agar disebut penyelesaian SPLDV?

Jawaban kunci:

1. Pasangan nilai $(x,y)$ yang memenuhi kedua persamaan linear dalam sistem tersebut secara bersamaan.
2. $4+1=5$ (benar), $3(4)-1=11$ (benar). $(4,1)$ adalah penyelesaian.
3. Satu penyelesaian (berpotongan), tidak ada penyelesaian (sejajar), tak terhingga penyelesaian (berimpit).
4. Persamaan kedua adalah 2 kali persamaan pertama, sehingga kedua garis berimpit dan SPLDV memiliki tak terhingga banyak penyelesaian.
5. Karena SPLDV terdiri dari dua syarat sekaligus; jika hanya memenuhi satu persamaan, pasangan itu belum tentu memenuhi persamaan yang lain, sehingga belum sah disebut penyelesaian sistem.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.