G. Korespondensi Satu Satu

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan pengertian korespondensi satu-satu.
2. Siswa dapat menentukan syarat suatu relasi disebut korespondensi satu-satu.
3. Siswa dapat menghitung banyaknya kemungkinan korespondensi satu-satu antara dua himpunan.

Materi

Pengertian Korespondensi Satu-Satu

Korespondensi satu-satu (bijeksi) adalah relasi khusus antara himpunan $A$ dan $B$ yang memenuhi DUA syarat:

1. Banyak anggota kedua himpunan sama: $n(A) = n(B)$.
2. Setiap anggota $A$ berpasangan dengan tepat satu anggota $B$, DAN setiap anggota $B$ juga berpasangan dengan tepat satu anggota $A$ (berlaku dua arah).

Ini lebih ketat dibanding fungsi biasa: fungsi hanya mensyaratkan dari sisi domain, sedangkan korespondensi satu-satu mensyaratkan dari KEDUA sisi sekaligus.

Contoh korespondensi satu-satu dalam kehidupan sehari-hari

• Setiap siswa duduk di kursi yang berbeda (satu siswa satu kursi, satu kursi satu siswa).
• Setiap nomor plat kendaraan hanya dimiliki satu kendaraan.

Banyaknya Korespondensi Satu-Satu yang Mungkin

Jika $n(A) = n(B) = n$, maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dibentuk adalah:

$$n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1$$

Cara menghitungnya: anggota pertama di $A$ bisa dipasangkan dengan $n$ pilihan di $B$; anggota kedua tinggal $(n-1)$ pilihan (karena satu sudah dipakai); anggota ketiga tinggal $(n-2)$ pilihan; dan seterusnya sampai satu pilihan terakhir.

Contoh untuk $n=2$: ada $2 \times 1 = 2$ kemungkinan. Untuk $n=3$: ada $3 \times 2 \times 1 = 6$ kemungkinan.

Contoh

Contoh 1: $A=\{1,2,3\}$ dan $B=\{a,b,c\}$. Apakah relasi $1\to a$, $2\to b$, $3\to c$ merupakan korespondensi satu-satu?

Penyelesaian: Ya, karena $n(A)=n(B)=3$ dan setiap anggota $A$ berpasangan tepat satu dengan anggota $B$ (dan sebaliknya).

Contoh 2: $A=\{1,2\}$ dan $B=\{x,y,z\}$. Bisakah dibentuk korespondensi satu-satu antara $A$ dan $B$?

Penyelesaian: Tidak bisa, karena $n(A)=2$ sedangkan $n(B)=3$ (banyak anggotanya tidak sama).

Contoh 3: Tentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dibentuk dari $A=\{1,2,3,4\}$ ke $B=\{p,q,r,s\}$.

Penyelesaian:

• $n(A)=n(B)=4$.
• Banyaknya korespondensi $=4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Latihan

1. $A=\{1,2,3\}$ dan $B=\{4,5,6\}$. Tuliskan satu contoh pasangan yang membentuk korespondensi satu-satu.

2. Bisakah dibentuk korespondensi satu-satu dari $A=\{1,2,3,4\}$ ke $B=\{a,b,c\}$? Jelaskan.

3. Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari dua himpunan beranggota 3 adalah ….

   A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

4. Tentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari $A=\{1,2\}$ ke $B=\{x,y\}$, lalu sebutkan semua kemungkinannya.

5. Tentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari dua himpunan yang masing-masing beranggota 5.

6. Jelaskan perbedaan syarat fungsi biasa dengan syarat korespondensi satu-satu.

Jawab:

1. Beragam, misalnya $1\to4$, $2\to5$, $3\to6$.
2. Tidak bisa, karena $n(A)=4 \neq n(B)=3$.
3. B. $3\times2\times1=6$.
4. $2\times1=2$ kemungkinan: $\{1\to x, 2\to y\}$ dan $\{1\to y, 2\to x\}$.
5. $5\times4\times3\times2\times1=120$.
6. Fungsi biasa hanya mensyaratkan setiap anggota domain punya tepat satu pasangan (dari satu arah saja); korespondensi satu-satu mensyaratkan hal itu berlaku dari KEDUA arah (domain ke kodomain dan kodomain ke domain), serta banyaknya anggota kedua himpunan harus sama.

Kuis Formatif

1. Sebutkan dua syarat suatu relasi disebut korespondensi satu-satu.
2. Bisakah dibentuk korespondensi satu-satu dari $A=\{1,2,3\}$ ke $B=\{7,8,9\}$? Jelaskan.
3. Tentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari dua himpunan yang masing-masing beranggota 4.
4. Berikan satu contoh korespondensi satu-satu dari kehidupan sehari-hari.
5. Mengapa korespondensi satu-satu tidak mungkin terbentuk jika $n(A) \neq n(B)$?

Jawaban kunci:

1. Banyak anggota kedua himpunan sama, dan setiap anggota saling berpasangan tepat satu (dua arah).
2. Bisa, karena $n(A)=n(B)=3$, misalnya $1\to7$, $2\to8$, $3\to9$.
3. $4\times3\times2\times1=24$.
4. Beragam, misalnya setiap siswa memiliki nomor absen yang berbeda.
5. Karena jika banyaknya anggota berbeda, pasti akan ada anggota di himpunan yang lebih besar yang tidak mendapat pasangan, sehingga syarat “setiap anggota berpasangan tepat satu” tidak dapat dipenuhi dari kedua arah.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.