D. Merasionalkan Penyebut

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan konsep merasionalkan penyebut dan alasan pentingnya menghilangkan bentuk akar dari penyebut.
• Merasionalkan penyebut berbentuk $\sqrt{a}$ dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{a}$.
• Merasionalkan penyebut berbentuk $a+\sqrt{b}$ atau $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ menggunakan bentuk sekawan (konjugat).

Materi

Mengapa Penyebut Perlu Dirasionalkan

Bentuk pecahan dianggap lebih sederhana dan lebih mudah dihitung apabila penyebutnya bukan bentuk akar (bilangan rasional). Proses mengubah penyebut yang berbentuk akar menjadi bilangan rasional disebut merasionalkan penyebut.

Merasionalkan Penyebut Berbentuk $\sqrt{a}$

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{a}$ (bentuk akar yang sama dengan penyebut), sehingga penyebut menjadi $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ (bilangan rasional). $$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$$

Contoh: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Merasionalkan Penyebut Berbentuk $a+\sqrt{b}$ atau $\sqrt{a}+\sqrt{b}$

Untuk penyebut berbentuk penjumlahan atau pengurangan yang memuat bentuk akar, gunakan bentuk sekawan (konjugat), yaitu bentuk yang tandanya dibalik:

• Sekawan dari $a+\sqrt{b}$ adalah $a-\sqrt{b}$, karena $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b$ (bebas dari bentuk akar).
• Sekawan dari $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ adalah $\sqrt{a}-\sqrt{b}$, karena $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b$ (bebas dari bentuk akar).

Kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan dari penyebutnya.

Contoh

Contoh 1: Rasionalkan penyebut $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Penyelesaian: $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Contoh 2: Rasionalkan penyebut $\dfrac{6}{\sqrt{2}}$.

Penyelesaian: $$\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Contoh 3 (bentuk sekawan $a+\sqrt{b}$): Rasionalkan penyebut $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$.

Penyelesaian: Sekawan dari $2+\sqrt{3}$ adalah $2-\sqrt{3}$. $$\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$$

Contoh 4 (bentuk sekawan $\sqrt{a}+\sqrt{b}$): Rasionalkan penyebut $\dfrac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$.

Penyelesaian: Sekawan dari $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ adalah $\sqrt{5}+\sqrt{2}$. $$\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{4\sqrt{5}+4\sqrt{2}}{3}$$

Latihan

1. Bentuk rasional dari $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ adalah … A. $\sqrt{5}$ B. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ C. $\dfrac{5}{\sqrt{5}}$ D. $\dfrac{1}{5}$
2. Bentuk rasional dari $\dfrac{3}{\sqrt{6}}$ adalah … A. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ B. $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$ C. $\sqrt{6}$ D. $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
3. Rasionalkan penyebut $\dfrac{5}{\sqrt{3}}$.
4. Rasionalkan penyebut $\dfrac{2}{3+\sqrt{2}}$ menggunakan bentuk sekawan.
5. Rasionalkan penyebut $\dfrac{6}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ menggunakan bentuk sekawan.
6. Dalam sebuah rumus fisika, kecepatan dinyatakan $v = \dfrac{10}{\sqrt{5}}$ m/s. Nyatakan $v$ dalam bentuk rasional paling sederhana.

Jawab:

1. B. $\dfrac{1}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
2. A. $\dfrac{3}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
3. $\dfrac{5}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$.
4. Sekawan dari $3+\sqrt{2}$ adalah $3-\sqrt{2}$. $\dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \times \dfrac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} = \dfrac{2(3-\sqrt{2})}{9-2} = \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}$.
5. Sekawan dari $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ adalah $\sqrt{7}+\sqrt{5}$. $\dfrac{6}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \dfrac{6(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \dfrac{6\sqrt{7}+6\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{7}+3\sqrt{5}$.
6. $v = \dfrac{10}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$ m/s.

Kuis Formatif

1. Rasionalkan penyebut $\dfrac{4}{\sqrt{2}}$.
2. Rasionalkan penyebut $\dfrac{7}{\sqrt{7}}$.
3. Tentukan bentuk sekawan dari $5-\sqrt{3}$.
4. Rasionalkan penyebut $\dfrac{1}{4-\sqrt{3}}$.
5. Rasionalkan penyebut $\dfrac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$.

Jawaban kunci:

1. $\dfrac{4}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
2. $\dfrac{7}{\sqrt{7}} \times \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \dfrac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7}$
3. $5+\sqrt{3}$
4. Sekawan dari $4-\sqrt{3}$ adalah $4+\sqrt{3}$. $\dfrac{1}{4-\sqrt{3}} \times \dfrac{4+\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}} = \dfrac{4+\sqrt{3}}{16-3} = \dfrac{4+\sqrt{3}}{13}$
5. Sekawan dari $\sqrt{6}+\sqrt{2}$ adalah $\sqrt{6}-\sqrt{2}$. $\dfrac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \dfrac{3(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \dfrac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{4}$

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.