E. Penerapan Pola Bilangan

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menentukan pola pada data kehidupan sehari-hari.
2. Siswa dapat menggunakan pola untuk memprediksi data berikutnya.
3. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual tentang pola bilangan.
4. Siswa dapat membuat generalisasi dari pola yang ditemukan.

Materi

Pola bilangan banyak digunakan dalam:

• Menabung: setiap bulan menambah jumlah yang sama.
• Pertumbuhan populasi: pertumbuhan konstan.
• Pola halaman: jumlah bintang, segitiga, dll.
• Pola cuaca: siklus musim.

Pola Aritmatika dalam Konteks Nyata

Banyak situasi sehari-hari mengikuti pola aritmatika (penambahan atau pengurangan tetap), misalnya menabung dengan jumlah tetap setiap bulan atau kenaikan harga yang konstan setiap tahun. Rumus suku ke-$n$ barisan aritmatika $U_n = a + (n-1)b$ dapat digunakan untuk memprediksi nilai pada periode ke-$n$ tanpa harus menghitung satu per satu.

Pola Geometri dalam Konteks Nyata

Beberapa situasi mengikuti pola geometri (perkalian atau rasio tetap), misalnya pertumbuhan jumlah bakteri yang membelah diri atau penyebaran informasi berantai. Rumus suku ke-$n$ barisan geometri: $U_n = a \times r^{n-1}$, dengan $a$ = suku pertama (kondisi mula-mula) dan $r$ = rasio (hasil bagi dua suku berurutan).

Catatan: karena kondisi mula-mula dihitung sebagai suku pertama ($U_1 = a$), maka setelah $k$ kali pelipatan/periode pertumbuhan, jumlahnya menjadi $a \times r^{k}$.

Langkah Menyelesaikan Soal Penerapan Pola Bilangan

1. Identifikasi apakah situasi menunjukkan penambahan tetap (pola aritmatika) atau perkalian tetap (pola geometri).
2. Tentukan suku pertama $a$ dan beda $b$ (atau rasio $r$).
3. Susun rumus suku ke-$n$, atau lanjutkan pola secara langsung jika periodenya sedikit.
4. Jawab pertanyaan sesuai konteks soal (misalnya jumlah pada waktu tertentu).

Contoh 1

Setiap bulan Andi menabung Rp100.000. Tabungan setelah 6 bulan?

Penyelesaian:

• $100.000 \times 6 = 600.000$.

Contoh 2

Pola bintang pada halaman 1, 3, 5, 7, … Suku ke-10 = $1 + (10-1) \times 2 = 19$.

Contoh 3

Suatu jenis bakteri membelah diri menjadi 2 kali lipat setiap jam. Jika mula-mula ada 5 bakteri, berapa banyak bakteri setelah 4 jam?

Penyelesaian:

• Setiap jam, banyak bakteri dikalikan 2. Setelah 4 jam berarti terjadi 4 kali pelipatan.
• Banyak bakteri $= 5 \times 2^{4} = 5 \times 16 = 80$.

Contoh 4

Sebuah kolam ikan memiliki 30 ekor ikan pada bulan pertama. Setiap bulan berikutnya, pemilik menambahkan 15 ekor ikan baru. Tentukan rumus suku ke-$n$ untuk banyak ikan pada bulan ke-$n$, lalu tentukan banyak ikan pada bulan ke-10!

Penyelesaian:

• $a = 30$, $b = 15$.
• $U_n = 30 + (n-1) \times 15 = 15n + 15$.
• $U_{10} = 15(10) + 15 = 165$.

Latihan 1

Setiap hari Rina lari 1 km, setiap minggu ditambah 0,5 km. Jarak lari minggu ke-4 ….

A. 2 km B. 2,5 km C. 3 km D. 3,5 km

Jawaban: B

Minggu 1: 1 km Minggu 2: 1,5 km Minggu 3: 2 km Minggu 4: 2,5 km

Latihan 2

Pola bilangan: 2, 6, 18, 54, … Suku ke-5 ….

A. 108 B. 162 C. 216 D. 324

Jawaban: B

Pola perkalian 3. Suku ke-5 = $54 \times 3 = 162$.

Latihan 3

Setiap tahun harga sebuah rumah naik Rp20.000.000 dari harga awal Rp300.000.000. Harga rumah pada tahun ke-6 adalah ….

A. Rp380.000.000 B. Rp400.000.000 C. Rp420.000.000 D. Rp440.000.000

Jawaban: B

$a = 300.000.000$, $b = 20.000.000$. $U_6 = 300.000.000 + 5 \times 20.000.000 = 400.000.000$.

Latihan 4

Jumlah virus yang menyebar berlipat 3 kali setiap harinya. Jika hari pertama ada 4 virus, banyak virus setelah 3 hari berikutnya (hari ke-4) adalah ….

A. 36 B. 81 C. 108 D. 324

Jawaban: C

Setelah 3 kali pelipatan: $4 \times 3^{3} = 4 \times 27 = 108$.

Latihan 5

Seorang petani menanam 8 pohon pada tahun pertama dan menambah 4 pohon setiap tahun berikutnya. Tentukan rumus suku ke-$n$ dan banyak pohon pada tahun ke-9!

Jawab:

$a = 8$, $b = 4$. $U_n = 8 + (n-1) \times 4 = 4n + 4$. $U_9 = 4(9) + 4 = 40$.

Latihan 6

Bandingkan pola pertumbuhan tabungan Rp100.000 tetap setiap bulan (pola aritmatika) dengan pola bakteri yang berlipat ganda setiap jam (pola geometri). Jelaskan perbedaan utamanya!

Jawab:

Pada pola aritmatika, jumlah bertambah dengan nilai tetap (penjumlahan) setiap periode. Pada pola geometri, jumlah bertambah dengan kelipatan tetap (perkalian) setiap periode, sehingga pertumbuhannya jauh lebih cepat seiring bertambahnya waktu.

Kuis Formatif

1. Setiap minggu Sinta menabung Rp25.000, dan pada minggu pertama tabungannya sudah Rp25.000. Tentukan tabungannya pada minggu ke-10.
2. Suatu kultur bakteri mula-mula berjumlah 10 dan berlipat 2 kali setiap 30 menit. Berapa banyak bakteri setelah 2 jam (4 kali pelipatan)?
3. Jelaskan langkah pertama yang harus dilakukan sebelum menyelesaikan soal penerapan pola bilangan.
4. Harga tiket bioskop naik Rp5.000 setiap tahun dari harga awal Rp35.000. Tentukan rumus suku ke-$n$ dan harga tiket pada tahun ke-7.
5. Sebutkan satu perbedaan utama antara pola aritmatika dan pola geometri dalam konteks nyata.

Jawaban kunci:

1. $a = 25.000$, $b = 25.000$. $U_n = 25.000n$. $U_{10} = 250.000$.
2. Setelah 4 kali pelipatan: $10 \times 2^{4} = 10 \times 16 = 160$.
3. Mengidentifikasi apakah situasi menunjukkan penambahan tetap (pola aritmatika) atau perkalian tetap (pola geometri).
4. $a = 35.000$, $b = 5.000$. $U_n = 35.000 + (n-1) \times 5.000 = 5.000n + 30.000$. $U_7 = 5.000(7) + 30.000 = 65.000$.
5. Pola aritmatika bertambah dengan penjumlahan tetap, sedangkan pola geometri bertambah dengan perkalian (rasio) tetap sehingga pertumbuhannya lebih cepat.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.