A. Konsep Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan pengertian pertidaksamaan linear satu variabel.
2. Siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.
3. Siswa dapat menggambar HP pada garis bilangan.
4. Siswa dapat menyelesaikan soal tentang konsep PTLSV.

Materi

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang memiliki satu variabel berpangkat satu.

Bentuk umum: $ax + b > c$, $ax + b < c$, $ax + b \geq c$, atau $ax + b \leq c$, dengan $a \neq 0$.

Himpunan penyelesaian (HP): himpunan semua nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan.

Gambar HP pada garis bilangan:

• Panah ke kanan untuk $>$.
• Panah ke kiri untuk $<$.
• Bulatan penuh untuk $\geq$ atau $\leq$.
• Bulatan kosong untuk $>$ atau $<$.

Perbedaan persamaan dan pertidaksamaan

Persamaan linear satu variabel (PLSV) menggunakan tanda “$=$” dan biasanya hanya memiliki satu nilai penyelesaian. Contoh: $x + 4 = 10$ hanya dipenuhi oleh $x = 6$.

Pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) menggunakan tanda $>$, $<$, $\geq$, atau $\leq$, sehingga penyelesaiannya berupa himpunan nilai yang jumlahnya tak terhingga (sebuah interval), bukan satu nilai tunggal. Contoh: $x + 4 > 10$ dipenuhi oleh $x = 7$, $x = 8$, $x = 100$, dan tak terhingga banyak nilai lain, asalkan $x > 6$.

Sifat-sifat pertidaksamaan

Empat sifat berikut berlaku untuk sembarang pertidaksamaan dan menjadi dasar untuk menyelesaikan PtLSV pada submateri berikutnya:

1. Penjumlahan/pengurangan: jika kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama, arah tanda pertidaksamaan tidak berubah. Jika $a > b$, maka $a + c > b + c$ untuk sembarang $c$.
2. Perkalian/pembagian dengan bilangan positif: arah tanda tidak berubah. Jika $a > b$ dan $c > 0$, maka $a \times c > b \times c$.
3. Perkalian/pembagian dengan bilangan negatif: arah tanda dibalik (berbalik arah). Jika $a > b$ dan $c < 0$, maka $a \times c < b \times c$. Contoh sederhana: $2 > 1$ benar. Kalikan kedua ruas dengan $-1$: tanpa membalik tanda akan diperoleh $-2 > -1$ yang salah (karena $-2$ terletak di sebelah kiri $-1$ pada garis bilangan). Tanda harus dibalik menjadi $-2 < -1$, baru pernyataan itu benar.
4. Transitif: jika $a > b$ dan $b > c$, maka $a > c$.

Aturan nomor 3 sangat penting dan sering menjadi sumber kesalahan: setiap kali mengalikan atau membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan negatif, arah tanda pertidaksamaan harus dibalik.

Contoh 1

Selesaikan $x + 4 > 10$!

Penyelesaian:

• $x > 10 - 4$
• $x > 6$
• HP = $\{x \mid x > 6\}$

Contoh 2

Selesaikan $2x \leq 8$!

Penyelesaian:

• $x \leq \frac{8}{2}$
• $x \leq 4$
• HP = $\{x \mid x \leq 4\}$

Latihan 1

HP dari $x - 3 > 5$ adalah ….

A. $\{x \mid x > 2\}$ B. $\{x \mid x > 5\}$ C. $\{x \mid x > 8\}$ D. $\{x \mid x < 8\}$

Jawaban: C

$x > 5 + 3 = 8$

Latihan 2

HP dari $3x \leq 12$ adalah ….

A. $\{x \mid x \leq 3\}$ B. $\{x \mid x \leq 4\}$ C. $\{x \mid x \leq 12\}$ D. $\{x \mid x \leq 15\}$

Jawaban: B

$x \leq \frac{12}{3} = 4$

Latihan 3

HP dari $-2x < 10$ adalah ….

A. $\{x \mid x < -5\}$ B. $\{x \mid x > -5\}$ C. $\{x \mid x < 5\}$ D. $\{x \mid x > 5\}$

Jawaban: B

Dibagi bilangan negatif, arah tanda dibalik: $x > \frac{10}{-2} = -5$.

Latihan 4

HP dari $2x + 5 \geq 11$ adalah ….

A. $\{x \mid x \geq 3\}$ B. $\{x \mid x \geq 6\}$ C. $\{x \mid x \geq 8\}$ D. $\{x \mid x \geq 16\}$

Jawaban: A

$2x \geq 11 - 5 = 6$; $x \geq 3$.

Latihan 5

Manakah pernyataan yang BENAR tentang pertidaksamaan?

A. Penyelesaian pertidaksamaan selalu berupa satu nilai tunggal. B. Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif tidak mengubah arah tanda. C. Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif tidak mengubah arah tanda. D. Pertidaksamaan tidak memiliki himpunan penyelesaian.

Jawaban: C

Mengalikan/membagi kedua ruas dengan bilangan positif tidak mengubah arah tanda pertidaksamaan.

Kuis Formatif

1. HP dari $x + 7 \leq 15$ adalah …
2. HP dari $-5x > 20$ adalah …
3. HP dari $4x - 3 < 9$ adalah …
4. Jelaskan mengapa arah tanda pertidaksamaan harus dibalik saat kedua ruas dikalikan/dibagi bilangan negatif. Berikan contoh sederhana.
5. Sebutkan perbedaan utama antara penyelesaian PLSV dan PtLSV.

Jawaban kunci:

1. $x \leq 8$, HP $= \{x \mid x \leq 8\}$
2. $x < -4$, HP $= \{x \mid x < -4\}$
3. $x < 3$, HP $= \{x \mid x < 3\}$
4. Karena urutan bilangan pada garis bilangan berbalik saat dikalikan bilangan negatif. Contoh: $2 > 1$ benar, tapi jika dikalikan $-1$ tanpa membalik tanda menjadi $-2 > -1$ (salah); yang benar $-2 < -1$.
5. PLSV memiliki HP berupa satu nilai tunggal, sedangkan PtLSV memiliki HP berupa himpunan/interval nilai yang jumlahnya tak terhingga.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.