B. Syarat Bangun Sebangun

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menyebutkan syarat bangun sebangun.
2. Siswa dapat menentukan apakah dua bangun sebangun.
3. Siswa dapat menggunakan syarat kesebangunan untuk menentukan panjang sisi dan ukuran sudut.
4. Siswa dapat menyelesaikan soal tentang syarat bangun sebangun.

Materi

Syarat bangun sebangun:

• Sudut yang bersesuaian sama besar.
• Sisi yang bersesuaian berbanding sama.
• Perbandingan keliling sama dengan perbandingan sisi.
• Perbandingan luas permukaan sama dengan kuadrat perbandingan sisi.

Sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian

Jika bangun $ABCD \sim EFGH$, artinya titik $A$ bersesuaian dengan $E$, $B$ dengan $F$, $C$ dengan $G$, dan $D$ dengan $H$. Akibatnya:

• Sisi bersesuaian: $AB$ dengan $EF$, $BC$ dengan $FG$, $CD$ dengan $GH$, $DA$ dengan $HE$.
• Sudut bersesuaian: $\angle A$ dengan $\angle E$, $\angle B$ dengan $\angle F$, dan seterusnya.

Syarat sisi bersesuaian sebanding ditulis:

$$\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FG} = \frac{CD}{GH} = \frac{DA}{HE} = k$$

dengan $k$ adalah skala kesebangunan. Syarat sudut bersesuaian ditulis $\angle A = \angle E$, $\angle B = \angle F$, $\angle C = \angle G$, $\angle D = \angle H$.

Kedua syarat harus dipenuhi bersama-sama

Untuk bangun datar bersisi empat atau lebih, satu syarat saja tidak cukup. Contohnya, dua persegi panjang bisa saja semua sudutnya $90°$ (sama besar), tetapi belum tentu sebangun jika perbandingan sisi-sisinya tidak sama. Sebaliknya, bangun dengan sisi-sisi sebanding pun bisa saja sudutnya berbeda (misalnya belah ketupat gemuk dibanding belah ketupat kurus). Jadi, dua syarat itu harus diperiksa sekaligus, kecuali pada bangun beraturan seperti persegi atau belah ketupat, yang secara otomatis memenuhi salah satu syarat karena semua sisinya sama panjang.

Menentukan panjang sisi yang belum diketahui

Jika dua bangun sudah dipastikan sebangun, sisi yang belum diketahui dapat dicari dengan menyusun perbandingan sisi-sisi bersesuaian, lalu dikalikan silang. Misalnya jika diketahui $AB$, $EF$, dan $BC$, maka $FG$ dapat dicari dengan:

$$\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FG} \quad \Rightarrow \quad FG = \frac{BC \times EF}{AB}$$

Contoh 1

Dua segitiga memiliki sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu $60°$. Apakah kedua segitiga tersebut sebangun?

Jawaban: Ya, memenuhi syarat sudut yang bersesuaian sama besar.

Contoh 2

Dua persegi panjang memiliki perbandingan sisi $2 : 3$ dan sudut yang bersesuaian $90°$. Apakah kedua persegi panjang tersebut sebangun?

Jawaban: Ya, memenuhi syarat sudut sama besar dan sisi berbanding sama.

Contoh 3

Persegi panjang $ABCD$ memiliki $AB = 8$ cm dan $BC = 4$ cm. Persegi panjang $EFGH$ memiliki $EF = 12$ cm dan $FG = 5$ cm. Apakah kedua persegi panjang tersebut sebangun?

Penyelesaian:

• Perbandingan sisi bersesuaian: $\frac{AB}{EF} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ dan $\frac{BC}{FG} = \frac{4}{5}$.
• Karena $\frac{2}{3} \neq \frac{4}{5}$, sisi-sisi bersesuaian tidak sebanding.
• Meskipun semua sudutnya siku-siku ($90°$), kedua persegi panjang tersebut tidak sebangun karena syarat sisi tidak terpenuhi.

Contoh 4

Trapesium $ABCD \sim$ trapesium $PQRS$ dengan $AB = 6$ cm, $BC = 4$ cm, dan $PQ = 9$ cm. Tentukan panjang $QR$!

Penyelesaian:

• Skala $= \frac{PQ}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
• $QR = BC \times \frac{3}{2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$ cm.

Latihan 1

Dua segitiga memiliki perbandingan sisi $3 : 4$ dan sudut yang bersesuaian sama besar. Perbandingan kelilingnya ….

A. $3 : 4$

B. $4 : 3$

C. $9 : 16$

D. $16 : 9$

Jawaban: A

Perbandingan keliling sama dengan perbandingan sisi.

Latihan 2

Dua lingkaran dengan jari-jari 7 cm dan 14 cm. Perbandingan luasnya ….

A. $1 : 2$

B. $1 : 4$

C. $2 : 1$

D. $4 : 1$

Jawaban: B

Luas berbanding $r^2$, sehingga $7^2 : 14^2 = 49 : 196 = 1 : 4$.

Latihan 3

Dua belah ketupat memiliki sudut-sudut bersesuaian sama besar. Belah ketupat pertama bersisi $5$ cm, belah ketupat kedua bersisi $8$ cm. Pernyataan yang tepat adalah ….

A. Sebangun, karena sudut sama besar saja sudah cukup untuk semua bangun

B. Sebangun, karena sisi-sisi bersesuaian otomatis sebanding ($5 : 8$ untuk semua sisi, sebab belah ketupat memiliki sisi sama panjang)

C. Tidak sebangun, karena panjang sisinya berbeda

D. Tidak dapat ditentukan tanpa mengukur sudut lain

Jawaban: B

Karena belah ketupat memiliki keempat sisi sama panjang, rasio setiap sisi bersesuaian pada kedua belah ketupat otomatis sama, yaitu $5:8$. Ditambah syarat sudut sama besar, keduanya pasti sebangun.

Latihan 4

Persegi panjang $KLMN \sim$ persegi panjang $PQRS$, dengan $KL = 10$ cm, $LM = 6$ cm, dan $PQ = 15$ cm. Panjang $QR$ adalah ….

A. 7 cm

B. 8 cm

C. 9 cm

D. 10 cm

Jawaban: C

Skala $= \frac{PQ}{KL} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. $QR = LM \times \frac{3}{2} = 6 \times \frac{3}{2} = 9$ cm.

Latihan 5

Dua bangun datar sebangun dengan perbandingan sisi $4 : 7$. Jika luas bangun kecil $32$ cm², luas bangun besar adalah ….

A. 56 cm²

B. 72 cm²

C. 91 cm²

D. 98 cm²

Jawaban: D

Luas besar $= \left(\frac{7}{4}\right)^2 \times 32 = \frac{49}{16} \times 32 = 98$ cm².

Latihan 6

Dua bangun sebangun dengan perbandingan sisi $5 : 8$. Jika keliling bangun kecil $45$ cm, keliling bangun besar adalah ….

A. 56 cm

B. 64 cm

C. 72 cm

D. 80 cm

Jawaban: C

Keliling besar $= 45 \times \frac{8}{5} = 72$ cm.

Kuis Formatif

1. Sebutkan dua syarat yang harus dipenuhi agar dua bangun datar dikatakan sebangun.
2. Dua persegi panjang memiliki sudut-sudut bersesuaian sama besar ($90°$), namun ternyata tidak sebangun. Jelaskan mengapa hal ini bisa terjadi.
3. Bangun $ABCD \sim EFGH$ dengan $AB = 5$, $BC = 7$, dan $EF = 15$. Tentukan panjang $FG$.
4. Jika perbandingan sisi dua bangun sebangun adalah $3 : 5$, tentukan perbandingan luasnya.
5. Mengapa dua belah ketupat yang sudut-sudutnya bersesuaian sama besar sudah pasti sebangun tanpa perlu memeriksa syarat sisi secara terpisah?

Jawaban kunci:

1. Sisi-sisi bersesuaian sebanding (berbanding sama) dan sudut-sudut bersesuaian sama besar.
2. Karena meskipun semua sudutnya siku-siku ($90°$), syarat sisi-sisi bersesuaian sebanding belum tentu terpenuhi; kedua syarat harus dipenuhi bersamaan agar sebangun.
3. Skala $= \frac{EF}{AB} = \frac{15}{5} = 3$. $FG = BC \times 3 = 7 \times 3 = 21$.
4. $3^2 : 5^2 = 9 : 25$.
5. Karena belah ketupat memiliki semua sisi sama panjang, rasio sisi-sisi bersesuaian pada dua belah ketupat manapun otomatis sama besarnya, sehingga begitu sudutnya sama besar, syarat sisi otomatis terpenuhi.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.