C. Kesebangunan Segitiga

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menentukan apakah dua segitiga sebangun.
2. Siswa dapat menentukan perbandingan sisi, keliling, dan luas segitiga sebangun.
3. Siswa dapat menggunakan kesebangunan untuk menentukan tinggi dan panjang sisi yang tidak diketahui.
4. Siswa dapat menyelesaikan soal tentang kesebangunan segitiga.

Materi

Kesebangunan segitiga ditulis $\Delta ABC \sim \Delta DEF$.

Sifat:

• Sudut yang bersesuaian sama besar.
• Sisi yang bersesuaian berbanding sama.
• Perbandingan keliling sama dengan perbandingan sisi.
• Perbandingan luas sama dengan kuadrat perbandingan sisi.

Menentukan panjang sisi segitiga yang belum diketahui

Langkah mencari sisi segitiga sebangun yang belum diketahui:

1. Pasangkan sisi-sisi yang bersesuaian sesuai urutan huruf pada nama segitiga.
2. Susun perbandingan (proporsi) dari sisi yang sudah diketahui.
3. Selesaikan dengan perkalian silang untuk mendapatkan sisi yang dicari.

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Kesebangunan segitiga pada masalah tinggi objek (bayangan)

Saat matahari bersinar, sebuah tongkat tegak dan bayangannya membentuk segitiga siku-siku. Pada saat yang sama, objek lain (pohon, tiang, gedung) beserta bayangannya juga membentuk segitiga siku-siku dengan sudut elevasi matahari yang sama. Kedua segitiga tersebut sebangun, sehingga berlaku:

$$\frac{\text{tinggi objek}}{\text{panjang bayangan objek}} = \frac{\text{tinggi tongkat}}{\text{panjang bayangan tongkat}}$$

Prinsip ini dipakai untuk menghitung tinggi benda yang sulit diukur langsung, seperti tinggi pohon atau tiang listrik.

Contoh 1

$\Delta ABC \sim \Delta DEF$ dengan $AB = 6$, $BC = 8$, $AC = 10$, dan $DE = 9$. Tentukan $EF$ dan $DF$!

Penyelesaian:

• Skala $= \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
• $EF = 8 \times \frac{3}{2} = 12$.
• $DF = 10 \times \frac{3}{2} = 15$.

Contoh 2

$\Delta ABC \sim \Delta DEF$ dengan perbandingan sisi $2 : 3$. Jika luas $\Delta ABC = 8$ cm², luas $\Delta DEF$?

Penyelesaian:

• Perbandingan luas $= 2^2 : 3^2 = 4 : 9$.
• Luas $\Delta DEF = \frac{9}{4} \times 8 = 18$ cm².

Contoh 3

Sebuah tongkat setinggi $1,5$ m berdiri tegak dan bayangannya $2$ m. Pada saat yang sama, sebuah pohon memiliki bayangan sepanjang $12$ m. Tentukan tinggi pohon tersebut!

Penyelesaian:

• Kedua segitiga (tongkat-bayangan dan pohon-bayangan) sebangun karena sudut elevasi matahari sama.

$$\frac{\text{tinggi pohon}}{12} = \frac{1,5}{2}$$

• Tinggi pohon $= 12 \times \frac{1,5}{2} = 9$ m.

Contoh 4

$\Delta PQR \sim \Delta STU$ dengan $PQ = 5$ cm dan luas $\Delta PQR = 20$ cm². Jika $ST = 15$ cm, tentukan luas $\Delta STU$!

Penyelesaian:

• Skala $= \frac{ST}{PQ} = \frac{15}{5} = 3$.
• Perbandingan luas $= 3^2 = 9$.
• Luas $\Delta STU = 9 \times 20 = 180$ cm².

Latihan 1

$\Delta ABC \sim \Delta DEF$ dengan $AB = 4$, $DE = 10$. Tentukan skala kesebangunan!

A. $1 : 2$

B. $2 : 5$

C. $4 : 10$

D. $10 : 4$

Jawaban: B

Skala $= AB : DE = 4 : 10 = 2 : 5$.

Latihan 2

$\Delta ABC \sim \Delta DEF$ dengan perbandingan sisi $3 : 4$. Jika luas $\Delta ABC = 27$ cm², luas $\Delta DEF$?

A. 36 cm²

B. 48 cm²

C. 64 cm²

D. 81 cm²

Jawaban: B

Luas $\Delta DEF = \frac{4^2}{3^2} \times 27 = \frac{16}{9} \times 27 = 48$ cm².

Latihan 3

Sebuah tiang bendera setinggi $2$ m memiliki bayangan $3$ m. Pada saat bersamaan, sebuah gedung memiliki bayangan sepanjang $24$ m. Tinggi gedung tersebut adalah ….

A. 12 m

B. 16 m

C. 18 m

D. 20 m

Jawaban: B

Tinggi gedung $= 24 \times \frac{2}{3} = 16$ m.

Latihan 4

$\Delta KLM \sim \Delta NOP$ dengan $KL = 6$ cm, $LM = 9$ cm, $KM = 12$ cm, dan $NO = 10$ cm. Panjang $OP$ adalah ….

A. 12 cm

B. 15 cm

C. 18 cm

D. 20 cm

Jawaban: B

Skala $= \frac{NO}{KL} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$. $OP = LM \times \frac{5}{3} = 9 \times \frac{5}{3} = 15$ cm.

Latihan 5

$\Delta ABC \sim \Delta DEF$ dengan perbandingan sisi $5 : 8$. Jika keliling $\Delta ABC = 40$ cm, keliling $\Delta DEF$ adalah ….

A. 48 cm

B. 56 cm

C. 64 cm

D. 72 cm

Jawaban: C

Keliling $\Delta DEF = 40 \times \frac{8}{5} = 64$ cm.

Latihan 6

$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ dengan perbandingan sisi $4 : 9$. Jika luas $\Delta PQR = 162$ cm², luas $\Delta ABC$ adalah ….

A. 24 cm²

B. 32 cm²

C. 36 cm²

D. 40 cm²

Jawaban: B

Luas $\Delta ABC = \left(\frac{4}{9}\right)^2 \times 162 = \frac{16}{81} \times 162 = 32$ cm².

Kuis Formatif

1. $\Delta ABC \sim \Delta DEF$. Sebutkan syarat yang membuat dua segitiga dikatakan sebangun.
2. Jelaskan bagaimana bayangan dapat digunakan untuk menentukan tinggi pohon tanpa mengukur langsung.
3. $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ dengan $AB = 8$, $DE = 12$, dan $BC = 10$. Tentukan panjang $EF$.
4. Sebuah tongkat setinggi $1$ m berbayangan $1,6$ m, sedangkan sebuah menara berbayangan $40$ m pada saat yang sama. Tentukan tinggi menara.
5. $\Delta PQR \sim \Delta STU$ dengan perbandingan sisi $3 : 7$. Jika luas $\Delta PQR = 18$ cm², tentukan luas $\Delta STU$.

Jawaban kunci:

1. Sudut-sudut bersesuaian sama besar dan sisi-sisi bersesuaian sebanding.
2. Karena sinar matahari sejajar, tongkat beserta bayangannya membentuk segitiga siku-siku yang sebangun dengan pohon beserta bayangannya, sehingga rasio tinggi terhadap bayangan sama besar dan tinggi pohon dapat dihitung dari perbandingan tersebut.
3. Skala $= \frac{DE}{AB} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. $EF = BC \times \frac{3}{2} = 10 \times \frac{3}{2} = 15$.
4. Tinggi menara $= 40 \times \frac{1}{1,6} = 25$ m.
5. Luas $\Delta STU = \left(\frac{7}{3}\right)^2 \times 18 = \frac{49}{9} \times 18 = 98$ cm².

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.