E. Perkalian dan Pembagian Bilangan Rasional

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Mengalikan pecahan biasa dengan mengalikan pembilang dan penyebut.
• Membagi pecahan biasa dengan cara dikalikan dengan balik.
• Mengalikan dan membagi bilangan desimal dengan aturan angka signifikan yang tepat.
• Memecahkan soal kontekstual tentang perkalian dan pembagian bilangan rasional.

Materi

Perkalian pecahan

$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} $$ Sederhanakan hasilnya jika memungkinkan sebelum atau sesudah perkalian.

Pembagian pecahan

$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$ Membagi pecahan sama artinya dengan mengalikan dengan kebalikannya (invers perkalian).

Aturan tanda

Sama seperti bilangan bulat, tanda hasil perkalian dan pembagian bilangan rasional mengikuti aturan:

• Tanda sama (positif $\times$ positif atau negatif $\times$ negatif) → hasil positif.
• Tanda berbeda (positif $\times$ negatif atau negatif $\times$ positif) → hasil negatif.

Contoh: $-\frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{1}{2}$ (positif), sedangkan $-\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$ (negatif).

Sifat-sifat perkalian bilangan rasional

• Komutatif: $a \times b = b \times a$. Contoh: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ dan $\frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{5}$.
• Asosiatif: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$. Contoh: $\left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right) \times \frac{3}{4} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$, dan $\frac{1}{2} \times \left(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
• Distributif terhadap penjumlahan/pengurangan: $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$. Contoh: $\frac{1}{2} \times \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$, dan $\left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.
• Identitas: $a \times 1 = a$.
• Elemen nol: $a \times 0 = 0$.
• Invers (kebalikan): untuk $a \neq 0$, berlaku $a \times \frac{1}{a} = 1$. Misalnya kebalikan dari $\frac{2}{5}$ adalah $\frac{5}{2}$, dan $\frac{2}{5} \times \frac{5}{2} = 1$.

Desimal

• Perkalian dan pembagian desimal dilakukan seperti bilangan biasa.
• Kemudian letakkan tanda koma sesuai jumlah angka desimal (jumlah angka di belakang koma pada hasil perkalian sama dengan total angka di belakang koma pada kedua faktor).

Contoh

Kerjakan:

1. $\frac{2}{3} \times \frac{6}{5}$
2. $\frac{3}{4} \div 2$
3. $0{,}8 \times 1{,}25$

Jawab:

1. $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$
2. $\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$
3. $0{,}8 \times 1{,}25 = 1$

Contoh 4 (bilangan negatif dan sifat distributif): a. Hitung $-\frac{3}{5} \times \left(-\frac{5}{9}\right)$. b. Buktikan sifat distributif untuk $\frac{2}{3} \times \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right)$.

Jawab: a. Tanda sama (negatif $\times$ negatif), hasil positif: $-\frac{3}{5} \times \left(-\frac{5}{9}\right) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$ b. Ruas kiri: $\frac{2}{3} \times \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$. Ruas kanan: $\left(\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$. Hasilnya sama, sifat distributif terbukti berlaku.

Contoh 5 (soal cerita): Sebuah tangki berisi $\frac{4}{5}$ bagian penuh berisi air. Air tersebut dibagikan sama rata ke $6$ ember. Berapa bagian tangki yang masuk ke setiap ember?

Jawab: $\frac{4}{5} \div 6 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ bagian tangki untuk setiap ember.

Latihan

1. Hitung $\frac{5}{6} \times \frac{3}{10}$.
2. Hitung $0{,}4 \div 0{,}25$.
3. Hitung $\frac{7}{9} \div \frac{14}{3}$.
4. Hitung $1{,}2 \times 0{,}15$.
5. Hitung $-\frac{2}{7} \times \frac{14}{9}$.
6. Sebuah mobil menempuh $\frac{3}{4}$ km setiap $\frac{1}{10}$ menit. Berapa kilometer yang ditempuh dalam $1$ menit?

Jawab:

1. $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$
2. $0{,}4 \div 0{,}25 = \frac{40}{25} = 1{,}6$
3. $\frac{7}{9} \times \frac{3}{14} = \frac{21}{126} = \frac{1}{6}$
4. $1{,}2 \times 0{,}15 = 0{,}18$
5. Tanda berbeda, hasil negatif: $-\frac{2}{7} \times \frac{14}{9} = -\frac{28}{63} = -\frac{4}{9}$
6. Jarak per menit $= \frac{3}{4} \div \frac{1}{10} = \frac{3}{4} \times 10 = \frac{30}{4} = 7{,}5$ km

Kuis Formatif

1. Hitung $\frac{3}{8} \times \frac{4}{9}$.
2. Hitung $-\frac{5}{6} \div \frac{5}{12}$.
3. Hitung $2{,}5 \times (-0{,}4)$.
4. Tentukan kebalikan (invers perkalian) dari $\frac{7}{3}$, lalu buktikan hasil kalinya sama dengan $1$.
5. Sebuah kebun seluas $\frac{5}{8}$ hektar akan dibagi rata untuk $5$ petani. Berapa hektar bagian setiap petani?

Jawaban kunci:

1. $\frac{12}{72} = \frac{1}{6}$
2. $-\frac{5}{6} \times \frac{12}{5} = -\frac{60}{30} = -2$
3. $2{,}5 \times (-0{,}4) = -1$
4. Kebalikan dari $\frac{7}{3}$ adalah $\frac{3}{7}$, sebab $\frac{7}{3} \times \frac{3}{7} = \frac{21}{21} = 1$.
5. $\frac{5}{8} \div 5 = \frac{5}{8} \times \frac{1}{5} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$ hektar

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.