D. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjumlahkan dan mengurangkan bilangan rasional dengan menyamakan bentuk pecahan atau menggunakan desimal.
2. Siswa dapat menyederhanakan hasil operasi.
3. Siswa dapat menafsirkan hasil dalam konteks soal cerita.
4. Siswa dapat memeriksa hasil kembali sebelum kesimpulan.

Materi

Penjumlahan dan pengurangan pecahan

• Jika penyebut sama, tambahkan atau kurangkan pembilang, penyebut tetap.
• Jika penyebut berbeda, samakan penyebut terlebih dahulu.

Menyamakan penyebut menggunakan KPK

Cara paling efisien menyamakan penyebut adalah mencari KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari penyebut-penyebutnya, bukan sekadar mengalikan kedua penyebut.

Langkah:

1. Tentukan KPK dari penyebut-penyebut yang ada.
2. Ubah setiap pecahan menjadi pecahan senilai berpenyebut KPK tersebut.
3. Jumlahkan atau kurangkan pembilangnya, penyebut tetap KPK.
4. Sederhanakan hasil jika masih bisa.

Contoh: $\frac{5}{6} - \frac{3}{4}$. KPK dari $6$ dan $4$ adalah $12$. $$\frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}$$

Menggunakan desimal

• Ubah bilangan menjadi desimal ketika lebih mudah.
• Lakukan penjumlahan atau pengurangan seperti bilangan desimal biasa, luruskan tanda komanya.

Bilangan rasional negatif

Aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat berlaku juga untuk bilangan rasional (pecahan maupun desimal): $$a - b = a + (-b)$$ $$a - (-b) = a + b$$ Contoh: $-\frac{2}{5} - \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$

Sifat-sifat penjumlahan bilangan rasional

• Komutatif: $a + b = b + a$. Contoh: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ dan $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.
• Asosiatif: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Contoh: $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1$, dan $\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
• Identitas: $a + 0 = a$.
• Invers: $a + (-a) = 0$, misalnya $\frac{3}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right) = 0$.

Catatan: seperti pada bilangan bulat, pengurangan bilangan rasional tidak komutatif. $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \neq \frac{1}{2} - \frac{3}{4}$.

Konsep kontekstual

• Hasil pengurangan dapat berarti selisih, sisa, atau berkurang.
• Hasil penjumlahan dapat berarti jumlah total atau gabungan.

Contoh 1

Kerjakan:

1. $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$
2. $1{,}4 - 0{,}75$

Penyelesaian:

1. $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$, sehingga $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$
2. $1{,}4 - 0{,}75 = 0{,}65$

Contoh 2 (soal cerita)

Andi makan $\frac{1}{4}$ bagian pizza, lalu Budi makan $\frac{2}{8}$ bagian pizza. Berapa bagian pizza yang sudah habis?

Penyelesaian:

• $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
• $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• Jadi $\frac{1}{2}$ bagian pizza telah habis.

Contoh 3 (KPK penyebut dan bilangan negatif)

Hitung $-\frac{5}{6} + \frac{3}{4}$.

Penyelesaian:

• KPK dari $6$ dan $4$ adalah $12$.
• $-\frac{5}{6} = -\frac{10}{12}$ dan $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$.
• $-\frac{10}{12} + \frac{9}{12} = -\frac{1}{12}$

Contoh 4 (soal cerita, sifat asosiatif)

Suhu ruang pendingin mula-mula $-2{,}5^{\circ}\text{C}$. Suhu turun $1{,}5^{\circ}\text{C}$, kemudian naik $0{,}75^{\circ}\text{C}$. Berapa suhu akhirnya, dan tunjukkan bahwa pengelompokan langkah tidak mengubah hasil (sifat asosiatif)?

Penyelesaian:

• Cara 1 (berurutan): $\left(-2{,}5 - 1{,}5\right) + 0{,}75 = -4 + 0{,}75 = -3{,}25^{\circ}\text{C}$
• Cara 2 (dikelompokkan berbeda): $-2{,}5 + \left(-1{,}5 + 0{,}75\right) = -2{,}5 + (-0{,}75) = -3{,}25^{\circ}\text{C}$
• Kedua cara menghasilkan suhu akhir yang sama, yaitu $-3{,}25^{\circ}\text{C}$, sehingga sifat asosiatif terbukti berlaku.

Latihan 1

Hitung $\frac{3}{8} + \frac{1}{4}$!

A. $\frac{4}{8}$

B. $\frac{5}{8}$

C. $\frac{6}{8}$

D. $\frac{7}{8}$

Jawaban: B

$\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$, sehingga $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$.

Latihan 2

Hitung $2{,}35 - 1{,}8$!

A. $0{,}45$

B. $0{,}55$

C. $0{,}65$

D. $0{,}75$

Jawaban: B

$2{,}35 - 1{,}80 = 0{,}55$.

Latihan 3

Hitung $-\frac{1}{3} + \frac{2}{5}$!

A. $\frac{1}{15}$

B. $\frac{2}{15}$

C. $\frac{3}{15}$

D. $\frac{4}{15}$

Jawaban: A

$-\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = -\frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{1}{15}$.

Latihan 4

Hitung $0{,}9 - (-0{,}4)$!

A. $0{,}5$

B. $1{,}1$

C. $1{,}3$

D. $1{,}5$

Jawaban: C

$0{,}9 - (-0{,}4) = 0{,}9 + 0{,}4 = 1{,}3$.

Latihan 5

Hitung $\frac{5}{6} - \frac{3}{4}$ menggunakan KPK penyebut!

A. $\frac{1}{12}$

B. $\frac{2}{12}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{4}$

Jawaban: A

KPK dari $6$ dan $4$ adalah $12$. $\frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}$.

Latihan 6

Seorang pendaki berada di ketinggian $-1{,}25\text{ km}$ (relatif terhadap titik acuan). Ia naik $0{,}75\text{ km}$, lalu turun $0{,}4\text{ km}$. Berapa ketinggiannya sekarang?

A. $-1{,}9\text{ km}$

B. $-0{,}9\text{ km}$

C. $0{,}9\text{ km}$

D. $1{,}9\text{ km}$

Jawaban: B

$-1{,}25 + 0{,}75 - 0{,}4 = -0{,}9\text{ km}$.

Kuis Formatif

1. Hitung $\frac{2}{3} + \frac{1}{5}$ menggunakan KPK penyebut.
2. Hitung $-1{,}6 + 0{,}9$.
3. Hitung $\frac{3}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right)$.
4. Suhu awal suatu ruangan $-3{,}2^{\circ}\text{C}$. Suhu naik $1{,}5^{\circ}\text{C}$, lalu turun $0{,}8^{\circ}\text{C}$. Berapa suhu akhirnya?
5. Sebutkan sifat penjumlahan bilangan rasional yang ditunjukkan oleh $\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right)$.

Jawaban kunci:

1. KPK dari $3$ dan $5$ adalah $15$. $\frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{13}{15}$
2. $-1{,}6 + 0{,}9 = -0{,}7$
3. $\frac{3}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$
4. $-3{,}2 + 1{,}5 - 0{,}8 = -2{,}5^{\circ}\text{C}$
5. Sifat asosiatif.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.