A. Pengertian dan Bentuk Bilangan Rasional

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan pengertian bilangan rasional dan bedakan dengan bilangan bulat.
• Menyebutkan bentuk-bentuk bilangan rasional: pecahan biasa, desimal, dan persen.
• Menulis bilangan rasional dari konteks kehidupan sehari-hari.
• Menyelesaikan latihan secara runtut dengan alasan yang jelas.

Materi

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat serta $b \neq 0$.

Bentuk bilangan rasional

1. Pecahan biasa Contoh: $\frac{3}{4}$, $\frac{-5}{7}$, $2 = \frac{2}{1}$

2. Desimal Contoh: $0{,}5$, $-1{,}25$, $3{,}0$

3. Persen Contoh: $75% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Ciri penting

• Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional.
• Bilangan desimal yang berhingga atau berulang juga bilangan rasional.
• Bilangan yang tidak dapat dituliskan sebagai $\frac{a}{b}$, seperti $\pi$ atau $\sqrt{2}$, bukan bilangan rasional.

Pecahan campuran

Pecahan campuran terdiri dari bagian bilangan bulat dan bagian pecahan, misalnya $2\frac{1}{3}$. Untuk mengubahnya menjadi pecahan biasa: $$a\frac{b}{c} = \frac{(a \times c) + b}{c}$$ Contoh: $2\frac{1}{3} = \frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Desimal berhenti dan desimal berulang

• Desimal berhenti (terminating): banyak angka di belakang koma terbatas. Contoh: $0{,}75$, $1{,}25$.
• Desimal berulang (repeating): ada pola angka yang berulang tanpa henti. Contoh: $0{,}333\ldots$ (pola angka $3$ berulang), $0{,}1666\ldots$ (pola angka $6$ berulang).

Kedua jenis desimal ini termasuk bilangan rasional, sebab keduanya dapat dituliskan sebagai $\frac{a}{b}$. Sebaliknya, desimal yang angka-angkanya tidak berhenti dan tidak membentuk pola berulang, seperti $0{,}101001000\ldots$, bukan bilangan rasional.

Hubungan antar himpunan bilangan

Bilangan asli ($\mathbb{N}$), bilangan bulat ($\mathbb{Z}$), dan bilangan rasional ($\mathbb{Q}$) saling berhubungan: $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$ Artinya setiap bilangan asli pasti bilangan bulat, dan setiap bilangan bulat pasti bilangan rasional. Secara notasi himpunan, bilangan rasional dituliskan: $$\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}$$

Contoh

Tentukan apakah bilangan berikut merupakan bilangan rasional: a. $-6$ b. $0{,}333\ldots$ c. $\sqrt{5}$

Jawab: a. $-6 = \frac{-6}{1}$, jadi bilangan rasional. b. $0{,}333\ldots = \frac{1}{3}$, jadi bilangan rasional. c. $\sqrt{5}$ tidak dapat dituliskan $\frac{a}{b}$ dengan $a,b$ bulat, jadi bukan bilangan rasional.

Contoh 2 (pecahan campuran dan pola desimal): a. Ubah $3\frac{2}{5}$ menjadi pecahan biasa. b. Termasuk desimal berhenti atau berulangkah $\frac{5}{6}$?

Jawab: a. $3\frac{2}{5} = \frac{(3 \times 5) + 2}{5} = \frac{17}{5}$ b. $\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots$, termasuk desimal berulang (pola angka $3$ berulang).

Latihan

1. Tuliskan $\frac{2}{5}$ dalam bentuk desimal dan persen.
2. Tuliskan $120%$ dalam bentuk pecahan yang paling sederhana.
3. Manakah yang bukan bilangan rasional: $0{,}8$, $-7$, $\frac{9}{2}$, $\sqrt{3}$?
4. Ubah $1\frac{3}{4}$ menjadi pecahan biasa.
5. Tentukan apakah $\frac{7}{11}$ merupakan desimal berhenti atau berulang, lalu tuliskan tiga angka desimal pertamanya.
6. Sebutkan apakah $-8$ termasuk anggota $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, dan/atau $\mathbb{Q}$.

Jawab:

1. $\frac{2}{5} = 0{,}4 = 40%$
2. $120% = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}$
3. $\sqrt{3}$ bukan bilangan rasional.
4. $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
5. $\frac{7}{11} = 0{,}636363\ldots$, desimal berulang dengan pola “63” berulang; tiga angka desimal pertama $0{,}636$.
6. $-8$ bukan anggota $\mathbb{N}$ (karena negatif), tetapi $-8$ termasuk anggota $\mathbb{Z}$ dan $\mathbb{Q}$.

Kuis Formatif

1. Ubah $2\frac{3}{8}$ menjadi pecahan biasa.
2. Apakah $0{,}45$ termasuk desimal berhenti atau berulang?
3. Tuliskan notasi himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}$.
4. Benar atau salah: semua bilangan bulat adalah bilangan rasional. Jelaskan.
5. Manakah dari $\sqrt{9}$ dan $\sqrt{7}$ yang merupakan bilangan rasional? Jelaskan.

Jawaban kunci:

1. $\frac{19}{8}$
2. Desimal berhenti.
3. $\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}$
4. Benar, karena setiap bilangan bulat $a$ dapat dituliskan sebagai $\frac{a}{1}$.
5. $\sqrt{9} = 3$ adalah bilangan rasional (dapat ditulis $\frac{3}{1}$), sedangkan $\sqrt{7}$ bukan bilangan rasional karena hasilnya berupa desimal yang tidak berhenti dan tidak berulang.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.