C. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Rasional

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menyamakan bentuk pecahan atau desimal sebelum membandingkan.
2. Siswa dapat menentukan bilangan yang lebih besar atau lebih kecil.
3. Siswa dapat mengurutkan bilangan rasional dari kecil ke besar atau sebaliknya.
4. Siswa dapat menjelaskan alasan perbandingan dengan langkah yang jelas.

Materi

Untuk membandingkan bilangan rasional, samakan bentuknya terlebih dahulu.

Strategi umum

1. Ubah semua bilangan ke bentuk pecahan sejajar atau desimal.
2. Bandingkan nilai desimalnya.
3. Tuliskan urutan dengan penanda lebih besar $>$, lebih kecil $<$, atau sama dengan $=$.

Catatan penting

• Perhatikan tanda negatif; bilangan negatif lebih kecil daripada bilangan positif.
• Perbandingkan yang tepat mulai dari nilai tempat yang sama.

Perkalian silang (cross multiplication)

Untuk membandingkan dua pecahan positif $\frac{a}{b}$ dan $\frac{c}{d}$ (dengan $b, d > 0$) tanpa mengubah ke desimal, gunakan perkalian silang:

• Jika $a \times d > c \times b$, maka $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$
• Jika $a \times d < c \times b$, maka $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$
• Jika $a \times d = c \times b$, maka $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Bilangan rasional di antara dua bilangan rasional

Di antara dua bilangan rasional yang berbeda, selalu ada bilangan rasional lain, misalnya nilai tengahnya (rata-rata): $$\text{nilai tengah} = \frac{a+b}{2}$$ Sifat ini disebut sifat kepadatan (density) bilangan rasional.

Contoh 1

Bandingkan:

1. $\frac{3}{4}$ dan $0{,}7$
2. $-\frac{1}{2}$ dan $-0{,}3$

Penyelesaian:

1. $\frac{3}{4} = 0{,}75$, sehingga $0{,}75 > 0{,}7$.
2. $-\frac{1}{2} = -0{,}5$, sehingga $-0{,}5 < -0{,}3$.

Contoh 2 (kontekstual)

Urutkan suhu: $-2^{\circ}\text{C}$, $1^{\circ}\text{C}$, $-5^{\circ}\text{C}$, $3^{\circ}\text{C}$ dari terdingin ke terhangat!

Penyelesaian:

• $-5^{\circ}\text{C} < -2^{\circ}\text{C} < 1^{\circ}\text{C} < 3^{\circ}\text{C}$

Contoh 3 (perkalian silang)

Bandingkan $\frac{5}{6}$ dan $\frac{7}{9}$ tanpa mengubah ke desimal.

Penyelesaian:

• $5 \times 9 = 45$ dan $7 \times 6 = 42$.
• Karena $45 > 42$, maka $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.

Contoh 4 (mencari bilangan di antara dua bilangan rasional)

Tentukan sebuah bilangan rasional yang terletak di antara $\frac{1}{4}$ dan $\frac{1}{2}$.

Penyelesaian:

• Nilai tengah $= \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8}$.
• Cek: $\frac{1}{4} = 0{,}25 < \frac{3}{8} = 0{,}375 < \frac{1}{2} = 0{,}5$. Benar, $\frac{3}{8}$ terletak di antara keduanya.

Latihan 1

Urutkan dari terkecil ke terbesar: $0{,}5$, $\frac{2}{3}$, $-0{,}4$, $\frac{1}{2}$!

A. $-0{,}4 < 0{,}5 < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$

B. $-0{,}4 < \frac{1}{2} < 0{,}5 < \frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{2} < 0{,}5 < -0{,}4 < \frac{2}{3}$

D. $0{,}5 < \frac{1}{2} < -0{,}4 < \frac{2}{3}$

Jawaban: A

$0{,}5 = \frac{1}{2}$, sehingga urutan: $-0{,}4 < 0{,}5 < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$.

Latihan 2

Manakah yang lebih besar: $-0{,}2$ atau $-\frac{1}{4}$? Jelaskan!

A. $-0{,}2$

B. $-\frac{1}{4}$

C. Sama besar

D. Tidak dapat dibandingkan

Jawaban: B

$-\frac{1}{4} = -0{,}25$. Karena $-0{,}25 > -0{,}2$, maka $-\frac{1}{4}$ lebih besar.

Latihan 3

Bandingkan $\frac{5}{6}$ dan $\frac{7}{9}$ menggunakan perkalian silang. Manakah yang lebih besar?

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{7}{9}$

C. Sama besar

D. Tidak dapat dibandingkan

Jawaban: A

$5 \times 9 = 45$ dan $7 \times 6 = 42$. Karena $45 > 42$, maka $\frac{5}{6}$ lebih besar.

Latihan 4

Tentukan sebuah bilangan rasional yang terletak di antara $\frac{1}{3}$ dan $\frac{1}{2}$!

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{5}{12}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

Jawaban: B

Nilai tengah $= \frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12}$. Cek: $\frac{1}{3} \approx 0{,}333 < \frac{5}{12} \approx 0{,}417 < \frac{1}{2} = 0{,}5$.

Latihan 5

Urutkan dari terbesar ke terkecil: $-\frac{3}{4}$, $0{,}6$, $-0{,}5$, $\frac{2}{5}$!

A. $0{,}6 > \frac{2}{5} > -0{,}5 > -\frac{3}{4}$

B. $\frac{2}{5} > 0{,}6 > -\frac{3}{4} > -0{,}5$

C. $-0{,}5 > -\frac{3}{4} > 0{,}6 > \frac{2}{5}$

D. $0{,}6 > -0{,}5 > \frac{2}{5} > -\frac{3}{4}$

Jawaban: A

$-\frac{3}{4} = -0{,}75$ dan $\frac{2}{5} = 0{,}4$. Urutan nilainya: $0{,}6 > 0{,}4 > -0{,}5 > -0{,}75$, yaitu $0{,}6 > \frac{2}{5} > -0{,}5 > -\frac{3}{4}$.

Kuis Formatif

1. Bandingkan $\frac{4}{7}$ dan $\frac{5}{9}$ menggunakan perkalian silang.
2. Tentukan sebuah bilangan rasional di antara $0{,}2$ dan $0{,}3$.
3. Urutkan dari terkecil ke terbesar: $-1{,}2$, $\frac{3}{4}$, $-\frac{1}{2}$, $0{,}9$.
4. Benarkah $-\frac{2}{3} < -\frac{1}{2}$? Jelaskan.
5. Jelaskan mengapa di antara dua bilangan rasional yang berbeda selalu bisa ditemukan bilangan rasional lain.

Jawaban kunci:

1. $4 \times 9 = 36$ dan $5 \times 7 = 35$. Karena $36 > 35$, maka $\frac{4}{7} > \frac{5}{9}$.
2. Nilai tengah $= \frac{0{,}2+0{,}3}{2} = 0{,}25$ (jawaban lain yang berada di antara $0{,}2$ dan $0{,}3$ juga benar).
3. $-1{,}2 < -\frac{1}{2} < \frac{3}{4} < 0{,}9$
4. Benar. $-\frac{2}{3} \approx -0{,}67$ dan $-\frac{1}{2} = -0{,}5$. Karena $-0{,}67 < -0{,}5$, maka $-\frac{2}{3} < -\frac{1}{2}$.
5. Karena selalu bisa dicari nilai tengah (rata-rata) dari dua bilangan rasional tersebut, dan nilai tengah dua bilangan rasional selalu berupa bilangan rasional juga.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.