E. Faktorisasi Prima, KPK, dan FPB

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menentukan faktorisasi prima dari suatu bilangan bulat.
2. Siswa dapat menentukan KPK dan FPB dari dua atau tiga bilangan bulat.
3. Siswa dapat menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan KPK dan FPB.

Materi

Faktorisasi prima

Menulis bilangan bulat sebagai hasil perkalian bilangan prima.

Cara pohon faktor: Bagi bilangan berturut-turut dengan bilangan prima terkecil yang bisa membaginya (2, 3, 5, 7, …) sampai hasil baginya juga prima.

Contoh: $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^{3} \times 3$

Langkah pohon faktor: $24 \to 2 \times 12 \to 2 \times 2 \times 6 \to 2 \times 2 \times 2 \times 3$.

FPB

Bilangan bulat terbesar yang menjadi faktor bersama dari dua atau lebih bilangan.

Cara:

1. Faktorisasi prima setiap bilangan.
2. Ambil faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil.
3. Kalikan faktor-faktor itu.

Contoh: FPB dari $18$ dan $24$:

• $18 = 2 \times 3^{2}$
• $24 = 2^{3} \times 3$
• FPB $= 2 \times 3 = 6$

KPK

Bilangan bulat terkecil yang menjadi kelipatan bersama dari dua atau lebih bilangan.

Cara:

1. Faktorisasi prima setiap bilangan.
2. Ambil setiap faktor prima dengan pangkat terbesar.
3. Kalikan faktor-faktor itu.

Contoh: KPK dari $12$ dan $18$:

• $12 = 2^{2} \times 3$
• $18 = 2 \times 3^{2}$
• KPK $= 2^{2} \times 3^{2} = 36$

Hubungan KPK dan FPB

Untuk dua bilangan $a$ dan $b$ berlaku: $$\text{KPK}(a,b) \times \text{FPB}(a,b) = a \times b$$

Cek dengan contoh di atas: KPK$(12,18) \times$ FPB$(12,18) = 36 \times 6 = 216$, dan $12 \times 18 = 216$. Cocok. Rumus ini berguna untuk mencari KPK atau FPB secara cepat jika salah satunya sudah diketahui.

Contoh

Contoh 1 (KPK): Dua lampu berkedip bersama setiap 8 detik dan 12 detik. Berapa detik kemudian keduanya akan berkedip bersama kembali?

KPK dari $8$ dan $12 = 24$. Jadi keduanya akan berkedip bersama setiap $\mathbf{24}$ detik.

Contoh 2 (FPB): Bu Ani punya 30 permen dan 45 cokelat. Ia ingin membagikannya ke beberapa anak sama rata (jenisnya tidak dicampur) tanpa sisa. Berapa jumlah anak maksimum yang bisa menerima?

$30 = 2 \times 3 \times 5$, $45 = 3^{2} \times 5$. FPB $= 3 \times 5 = 15$. Jadi jumlah anak maksimum adalah $\mathbf{15}$ anak (masing-masing dapat 2 permen dan 3 cokelat).

Latihan

1. Faktorisasikan menjadi bilangan prima: $36$.
2. Tentukan FPB dari $20$ dan $30$.
3. Tentukan KPK dari $9$ dan $12$.
4. Sebuah kelas memiliki 24 siswa untuk kelompok A dan 36 siswa untuk kelompok B. Agar setiap kelompok memiliki jumlah anggota yang sama banyak dan tidak ada siswa tersisa, berapa jumlah anggota kelompok minimum yang mungkin?
5. Diketahui KPK dari dua bilangan adalah $60$ dan FPB-nya adalah $4$. Jika salah satu bilangan adalah $20$, tentukan bilangan yang lain.
6. Tiga bus berangkat dari terminal yang sama. Bus A berangkat setiap 15 menit, bus B setiap 20 menit, dan bus C setiap 30 menit. Jika ketiganya berangkat bersama pukul 06.00, pukul berapa mereka berangkat bersama lagi?

Jawab:

1. $36 = 2^{2} \times 3^{2}$
2. FPB $= 10$
3. KPK $= 36$
4. FPB dari $24$ dan $36 = 12$, jadi jumlah anggota kelompok minimum adalah $\mathbf{12}$ siswa.
5. KPK $\times$ FPB $= a \times b \Rightarrow 60 \times 4 = 20 \times b \Rightarrow b = \frac{240}{20} = \mathbf{12}$.
6. KPK dari $15, 20, 30 = 60$ menit (1 jam). Berangkat bersama lagi pukul $\mathbf{07.00}$.

Kuis Formatif

1. Faktorisasi prima dari $50$ adalah …
2. FPB dari $16$ dan $40$ adalah …
3. KPK dari $6$, $8$, dan $10$ adalah …
4. Jika KPK dua bilangan $=72$ dan FPB $=6$, sedangkan salah satu bilangan $18$, berapa bilangan yang lain?
5. Jelaskan mengapa FPB dua bilangan tidak boleh lebih besar dari bilangan terkecilnya.

Jawaban kunci:

1. $50 = 2 \times 5^{2}$
2. $8$
3. $120$
4. $b = \frac{72 \times 6}{18} = 24$
5. Karena FPB adalah faktor bersama, dan faktor suatu bilangan selalu lebih kecil atau sama dengan bilangan itu sendiri.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.