D. Bentuk Ekuivalen

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menentukan apakah dua bentuk aljabar ekuivalen.
2. Siswa dapat menyusun bentuk ekuivalen dari bentuk aljabar yang diketahui.
3. Siswa dapat menggunakan bentuk ekuivalen untuk memudahkan perhitungan.
4. Siswa dapat membuktikan ekuivalen dengan substitusi nilai.

Materi

Dua bentuk aljabar ekuivalen jika memberikan nilai yang sama untuk setiap nilai variabelnya.

Contoh:

• $2(x + 3)$ dan $2x + 6$ ekuivalen.
• $(x + 2)^2$ dan $x^2 + 4x + 4$ ekuivalen.

Menyusun Bentuk Ekuivalen dengan Faktorisasi

Faktorisasi adalah kebalikan dari sifat distributif: mengubah bentuk penjumlahan/pengurangan menjadi bentuk perkalian dengan mencari FPB dari koefisien-koefisiennya.

Contoh: $6x + 9$. FPB dari $6$ dan $9$ adalah $3$, sehingga $6x + 9 = 3(2x + 3)$.

Membuktikan Ekuivalen dengan Substitusi Nilai

Untuk memeriksa dugaan dua bentuk aljabar ekuivalen, substitusikan sembarang nilai variabel ke kedua bentuk. Jika hasilnya sama, dugaan ekuivalen makin kuat.

Contoh: periksa apakah $2(x+3)$ ekuivalen dengan $2x+6$ menggunakan $x = 5$.

• $2(5+3) = 2 \times 8 = 16$
• $2(5) + 6 = 10 + 6 = 16$

Hasil sama, mendukung dugaan bahwa kedua bentuk ekuivalen. Catatan: substitusi satu nilai saja bukan bukti mutlak (bisa saja kebetulan sama untuk nilai tertentu), sehingga bukti yang paling meyakinkan tetap penjabaran aljabar secara lengkap seperti sifat distributif.

Pola Kuadrat Suku Dua

Beberapa bentuk ekuivalen yang sering muncul dan berguna dihafal polanya: $$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$$ $$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$$ $$(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$$

Contoh: $(x+2)^2 = x^2 + 2(2)x + 2^2 = x^2 + 4x + 4$, sesuai dengan yang telah disebutkan di atas.

Contoh 1

Tentukan bentuk ekuivalen dari $3(x - 2) + 4$.

Penyelesaian:

• $3x - 6 + 4 = 3x - 2$.

Contoh 2

Tentukan bentuk ekuivalen dari $2x + 8$.

Penyelesaian:

• $2(x + 4)$ atau $2x + 8$.

Contoh 3

Tentukan bentuk faktorisasi (ekuivalen) dari $12x - 18$.

Penyelesaian:

• FPB dari $12$ dan $18$ adalah $6$.
• $12x - 18 = 6(2x - 3)$.

Contoh 4

Buktikan bahwa $(x-3)^2$ ekuivalen dengan $x^2 - 6x + 9$ menggunakan pola kuadrat suku dua dan periksa dengan substitusi $x = 4$.

Penyelesaian:

• Penjabaran: $(x-3)^2 = x^2 - 2(3)x + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.
• Substitusi $x=4$: $(4-3)^2 = 1^2 = 1$, dan $4^2 - 6(4) + 9 = 16 - 24 + 9 = 1$. Hasilnya sama, sehingga kedua bentuk ekuivalen.

Latihan 1

Bentuk ekuivalen dari $2(x + 5) - 3(x - 1)$ adalah ….

A. $x + 7$

B. $x + 13$

C. $-x + 7$

D. $-x + 13$

Jawaban: D

$2x + 10 - 3x + 3 = -x + 13$.

Latihan 2

Manakah yang ekuivalen dengan $4x - 12$?

A. $4(x - 3)$

B. $2(2x - 6)$

C. $4x - 12$

D. Semua benar

Jawaban: D

Semua bentuk ekuivalen.

Latihan 3

Bentuk faktorisasi dari $10x + 15$ adalah ….

A. $5(2x + 3)$

B. $2(5x + 15)$

C. $5(2x + 15)$

D. $10(x + 15)$

Jawaban: A

FPB dari $10$ dan $15$ adalah $5$, sehingga $10x + 15 = 5(2x+3)$.

Latihan 4

Bentuk yang ekuivalen dengan $x^2 + 6x + 9$ adalah ….

A. $(x+3)^2$

B. $(x+6)^2$

C. $(x+9)^2$

D. $(x+3)(x+6)$

Jawaban: A

$(x+3)^2 = x^2 + 2(3)x + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

Latihan 5

Untuk membuktikan $3(x-2)$ ekuivalen dengan $3x - 6$, Ana mensubstitusi $x = 2$ dan mendapati kedua bentuk bernilai $0$. Apakah pembuktian Ana sudah cukup meyakinkan?

A. Ya, karena hasilnya sudah sama

B. Tidak, karena substitusi satu nilai saja tidak cukup, sebaiknya dijabarkan secara aljabar

C. Tidak, karena $x = 2$ tidak boleh digunakan

D. Ya, karena semua nilai $x$ pasti menghasilkan $0$

Jawaban: B

Substitusi satu nilai bisa kebetulan sama; bukti paling meyakinkan adalah penjabaran aljabar: $3(x-2) = 3x - 6$.

Latihan 6

Bentuk $x^2 - 16$ ekuivalen dengan ….

A. $(x+4)(x-4)$

B. $(x-4)^2$

C. $(x+4)^2$

D. $(x-8)(x+2)$

Jawaban: A

Menggunakan pola $(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$ dengan $a=4$: $(x+4)(x-4) = x^2 - 16$.

Kuis Formatif

1. Tentukan bentuk faktorisasi dari $8x + 20$.
2. Buktikan dengan substitusi $x=3$ apakah $4(x+1)$ ekuivalen dengan $4x+4$.
3. Jabarkan $(x+5)^2$ menggunakan pola kuadrat suku dua.
4. Jabarkan $(x-6)(x+6)$.
5. Mengapa substitusi satu nilai saja belum cukup untuk membuktikan dua bentuk aljabar ekuivalen?

Jawaban kunci:

1. FPB dari $8$ dan $20$ adalah $4$, sehingga $8x+20 = 4(2x+5)$.
2. $4(3+1) = 16$ dan $4(3)+4 = 16$. Hasilnya sama, mendukung dugaan ekuivalen.
3. $(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$
4. $(x-6)(x+6) = x^2 - 36$
5. Karena bisa saja dua bentuk kebetulan bernilai sama hanya untuk satu nilai variabel tertentu, tetapi berbeda untuk nilai lain; bukti yang meyakinkan memerlukan penjabaran aljabar untuk semua nilai.

💬 Komentar

Silakan beri komentar atau pertanyaan menggunakan akun GitHub Anda.