Soal Transformasi Geometri (Kelas 9)

Kerjakan soal-soal standar AKM Numerasi berikut secara mandiri, lalu pelajari langkah penyelesaian dan analisis miskonsepsinya.

📌 Soal 1 (Pilihan Ganda Sederhana - Konteks Translasi Koordinat Logo Panggung)

Wacana:

Desainer grafik komputer menggeser titik koordinat logo panggung $P(3, -2)$ pada layar monitor. Rincian vektor pergeseran translasi disajikan dalam tabel berikut:

Formula Translasi: $$P’(x’, y’) = (x + a, y + b)$$

Pertanyaan:
Berdasarkan data tabel pergeseran di atas, koordinat titik bayangan $P’$ setelah ditranslasi adalah ….

• A. $P’(4, 3)$
• B. $P’(2, -7)$
• C. $P’(4, -3)$
• D. $P’(-4, 3)$

Jawaban: A

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Rumus Translasi: $P’(x’, y’) = (x + a, y + b)$.
2. Substitusi: $$x’ = 3 + 1 = 4$$ $$y’ = -2 + 5 = 3$$ Maka koordinat bayangannya adalah $\mathbf{P’(4, 3)}$.

🔍 Analisis Pengecekan Miskonsepsi:

• Opsi B ($P’(2, -7)$) [SALAH]: Siswa mengurangkan angka koordinat ($3 - 1$ dan $-2 - 5$).

📌 Soal 2 (Pilihan Ganda Kompleks - Konteks Pemetaan Pencerminan Refleksi Kartesius)

Wacana:

Seorang perancang tata panggung dan koreografi mencatatkan matriks pencerminan titik $A(x, y)$ terhadap berbagai sumbu acuan dalam tabel matriks refleksi berikut:

Pertanyaan:
Manakah rumus pemetaan bayangan refleksi pada panggung di atas yang BENAR? (Jawaban benar lebih dari satu)

• A. Refleksi terhadap sumbu-$x$ menghasilkan bayangan $A’(x, -y)$.
• B. Refleksi terhadap sumbu-$y$ menghasilkan bayangan $A’(-x, y)$.
• C. Refleksi terhadap garis $y = x$ menghasilkan bayangan $A’(y, x)$.
• D. Refleksi terhadap titik asal $O(0,0)$ menghasilkan bayangan $A’(y, -x)$.

Jawaban: A, B, C

📌 Soal 3 (Menjodohkan - Konteks Pemrograman Animasi Komputer 2D)

Wacana:
Seorang perancang grafik dan animasi komputer memutar posisi karakter objek sprite $(x, y)$ di layar monitor mengelilingi pusat acuan $O(0,0)$ berlawanan arah jarum jam.

Pertanyaan:
Jodohkanlah besar sudut rotasi pemutaran karakter di Kolom Kiri dengan rumus koordinat bayangan akhirnya di Kolom Kanan!

Jawaban Pasangan Benar: 1-B, 2-A, 3-C.

📌 Soal 4 (Benar / Salah - Konteks Dilatasi Perkalian Skala)

Wacana:
Diberikan titik $A(3, 4)$ yang didilatasi dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $k = 2$.

Pertanyaan:
Tentukan apakah pernyataan berikut BENAR atau SALAH!

“Koordinat bayangan hasil dilatasi titik $A(3, 4)$ tersebut adalah $A’(6, 8)$.”

Jawaban: BENAR

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah: $$A’(k \cdot x, k \cdot y) = A’(2 \times 3, 2 \times 4) = \mathbf{A’(6, 8)}$$ Maka pernyataan tersebut BENAR.

📌 Soal 5 (Jawaban Singkat - Konteks Pergeseran Bertahap/Komposisi Translasi)

Wacana:
Sebuah titik $B(2, 4)$ mengalami pergeseran dua kali secara berturut-turut oleh $T_1 = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix}$ kemudian dilanjutkan oleh $T_2 = \begin{pmatrix} -2 \ 5 \end{pmatrix}$.

Pertanyaan:
Berapakah nilai koordinat $y’$ akhir dari bayangan titik B tersebut? (Tuliskan dalam angka)

Jawaban: 8

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Translasi gabungan: $T_{\text{total}} = \begin{pmatrix} 3 + (-2) \ -1 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 4 \end{pmatrix}$.
2. Bayangan akhir: $B’(2 + 1, 4 + 4) = B’(3, 8)$. Maka nilai koordinat $y’$ akhir adalah 8.

📌 Soal 6 (Uraian / Esai dengan Rubrik - Konteks Komposisi Refleksi & Rotasi)

Wacana:
Sebuah titik $K(2, 5)$ mula-mula dicerminkan (direfleksikan) terhadap garis vertikal $x = 4$ menghasilkan titik $K’$. Kemudian, titik $K’$ dirotasikan sebesar $90^\circ$ searah jarum jam ($270^\circ$ berlawanan arah jarum jam) dengan pusat titik $O(0,0)$ menghasilkan titik akhir $K’’$.

Pertanyaan:

1. Tentukan koordinat titik bayangan pertama $K’$ hasil pencerminan terhadap garis $x = 4$!
2. Tentukan koordinat titik bayangan akhir $K’’$ setelah dirotasikan! Tunjukkan langkah aljabar lengkap!

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Refleksi $K(2, 5)$ terhadap Garis $x = h = 4$: $$x’ = 2h - x = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6$$ $$y’ = y = 5$$ Koordinat bayangan pertama: $\mathbf{K’(6, 5)}$.
2. Rotasi $K’(6, 5)$ sebesar $90^\circ$ Searah Jarum Jam ($270^\circ$ Berlawanan): Rumus rotasi $270^\circ$: $(x’, y’) \rightarrow (y’, -x’)$. $$x’’ = y’ = 5$$ $$y’’ = -x’ = -6$$ Koordinat bayangan akhir: $\mathbf{K’’(5, -6)}$.

📑 Rubrik Penilaian Analitik:

📌 Soal 7 (Pilihan Ganda Sederhana - Konteks Dilatasi Pusat Arbitrer P(a,b))

Wacana:
Titik $A(4, 6)$ didilatasi dengan titik pusat $P(1, 2)$ dan faktor skala $k = 3$.

Pertanyaan:
Koordinat titik bayangan $A’$ hasil dilatasi tersebut adalah ….

• A. $A’(10, 14)$
• B. $A’(12, 18)$
• C. $A’(9, 12)$
• D. $A’(7, 10)$

Jawaban: A

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Rumus Dilatasi Pusat $P(a, b)$: $$x’ = a + k(x - a) = 1 + 3(4 - 1) = 1 + 3(3) = 1 + 9 = \mathbf{10}$$ $$y’ = b + k(y - b) = 2 + 3(6 - 2) = 2 + 3(4) = 2 + 12 = \mathbf{14}$$
2. Koordinat bayangan: $\mathbf{A’(10, 14)}$.

🔍 Analisis Pengecekan Miskonsepsi:

• Opsi B ($A’(12, 18)$) [SALAH]: Siswa mengira dilatasi berpusat di $O(0,0)$ ($3 \times 4$ dan $3 \times 6$).

📌 Soal 8 (Pilihan Ganda Kompleks - Konteks Pengaruh Skala Terhadap Luas Bangun Datar)

Wacana:
Sebuah segitiga $ABC$ memiliki luas awal $L = 12\text{ cm}^2$. Segitiga tersebut didilatasi dengan faktor skala $k = 3$.

Pertanyaan:
Manakah pernyataan perbesaran skala geometri berikut yang BENAR? (Jawaban benar lebih dari satu)

• A. Panjang setiap sisi segitiga bayangan menjadi $3\text{ kali}$ panjang sisi semula.
• B. Luas segitiga bayangan mengalami perbesaran sebesar $k^2 = 3^2 = 9\text{ kali}$ dari luas semula.
• C. Luas segitiga bayangan akhir adalah $9 \times 12 = 108\text{ cm}^2$.
• D. Luas segitiga bayangan akhir adalah $3 \times 12 = 36\text{ cm}^2$.

Jawaban: A, B, C

📌 Soal 9 (Benar / Salah - Pencerminan Terhadap Garis y = -x)

Wacana:
Diberikan titik $M(2, -5)$ yang dicerminkan terhadap garis $y = -x$.

Pertanyaan:
Tentukan apakah pernyataan berikut BENAR atau SALAH!

“Bayangan refleksi dari titik $M(2, -5)$ terhadap garis $y = -x$ adalah $M’(5, -2)$.”

Jawaban: BENAR

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah: Rumus pencerminan garis $y = -x$: $(x, y) \rightarrow (-y, -x)$. Substitusi $(2, -5)$: $$x’ = -(-5) = 5$$ $$y’ = -(2) = -2$$ Bayangannya adalah $\mathbf{M’(5, -2)}$. Maka pernyataan BENAR.

📌 Soal 10 (Uraian / Esai dengan Rubrik - Konteks Peta Digital Pergerakan Armada Bus GPS)

Wacana:
Sebuah armada bus sekolah dipantau melalui sistem navigasi GPS pada peta bidang koordinat Kartesius (1 unit $= 1\text{ km}$).

• Lokasi awal bus berada di titik $A(-4, 2)$.
• Bus bergerak berpindah lokasi pertama yang dimodelkan oleh translasi $T_1 = \begin{pmatrix} 6 \ 3 \end{pmatrix}$ menuju titik B.
• Dari titik B, bus melanjutkan pergerakan dengan translasi $T_2 = \begin{pmatrix} -1 \ -4 \end{pmatrix}$ hingga tiba di lokasi titik C.

Pertanyaan:

1. Hitunglah koordinat lokasi akhir titik C yang dicapai bus!
2. Berapakah jarak lurus (garis miring) dari lokasi titik awal A langsung ke lokasi titik akhir C?

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Koordinat Lokasi Akhir Titik C: $$T_{\text{total}} = \begin{pmatrix} 6 + (-1) \ 3 + (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ -1 \end{pmatrix}$$ $$C = (-4 + 5, 2 + (-1)) = \mathbf{C(1, 1)}$$
2. Jarak Lurus dari Titik A(-4, 2) ke Titik C(1, 1): $$\text{Jarak} = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$$ $$\text{Jarak} = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \mathbf{\sqrt{26}\text{ km}} \approx 5{,}1\text{ km}$$

📑 Rubrik Penilaian Analitik: