Soal Relasi dan Fungsi (Kelas 8)

Kerjakan soal-soal standar AKM Numerasi berikut secara mandiri, lalu pelajari langkah penyelesaian dan analisis miskonsepsinya.

📌 Soal 1 (Pilihan Ganda Sederhana - Konteks Pembagian Tugas Pengurus OSIS)

Wacana:
Pembina OSIS memetakan pembagian tugas 3 orang siswa pengurus $A = {1, 2, 3}$ untuk mendampingi 2 divisi kegiatan ekskul $B = {a, b}$. Setiap siswa tepat ditugaskan pada 1 divisi ekskul.

Pertanyaan:
Banyaknya variasi pemetaan (fungsi) penugasan yang mungkin terjadi dari himpunan siswa $A$ ke himpunan divisi $B$ adalah ….

• A. $6$
• B. $8$
• C. $9$
• D. $12$

Jawaban: B

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. $n(A) = 3$ (banyak siswa) dan $n(B) = 2$ (banyak divisi).
2. Banyak Pemetaan $= n(B)^{n(A)} = 2^3 = \mathbf{8\text{ variasi}}$.

🔍 Analisis Pengecekan Miskonsepsi:

• Opsi C ($9$) [SALAH]: Siswa terbalik menghitung pemetaan dari $B$ ke $A$ ($3^2 = 9$).

📌 Soal 2 (Pilihan Ganda Kompleks - Konteks Pendaftaran Nomor Loker Siswa)

Wacana:
Wali kelas mendata alokasi nomor loker siswa ${1, 2, 3}$ ke dalam beberapa catatan relasi himpunan pasangan berurutan:

• Relasi 1: ${(1, a), (2, b), (3, c)}$ (Setiap siswa dapat 1 loker beda)
• Relasi 2: ${(1, a), (2, a), (3, a)}$ (Semua siswa ditugaskan di loker besar yang sama $a$)
• Relasi 3: ${(1, a), (1, b), (2, c)}$ (Siswa 1 didaftarkan pada 2 loker sekaligus)

Pertanyaan:
Manakah pernyataan berikut yang BENAR mengenai sifat fungsi pada relasi loker di atas? (Jawaban benar lebih dari satu)

• A. Relasi 1 merupakan fungsi (pemetaan) karena setiap anggota domain siswa tepat berpasangan dengan satu nomor loker.
• B. Relasi 2 merupakan fungsi karena setiap elemen domain siswa ${1, 2, 3}$ tepat memiliki satu pasangan loker.
• C. Relasi 3 merupakan fungsi.
• D. Relasi 3 bukan fungsi karena elemen $1$ pada domain bercabang memiliki 2 pasangan loker ($(1,a)$ dan $(1,b)$).

Jawaban: A, B, D

📌 Soal 3 (Menjodohkan - Konteks Istilah Daerah Fungsi)

Pertanyaan:
Jodohkanlah istilah relasi dan fungsi di Kolom Kiri dengan pengertiannya di Kolom Kanan!

Jawaban Pasangan Benar: 1-C, 2-A, 3-B.

📌 Soal 4 (Benar / Salah - Konteks Nilai Bayangan Fungsi)

Wacana:
Suatu fungsi dinotasikan dengan rumus $f(x) = 3x - 5$.

Pertanyaan:
Tentukan apakah pernyataan berikut BENAR atau SALAH!

“Bayangan dari $x = 4$ atau nilai $f(4)$ adalah $7$.”

Jawaban: BENAR

📌 Soal 5 (Jawaban Singkat - Konteks Korespondensi Satu-Satu)

Wacana:
Dua buah himpunan $P$ dan $Q$ memiliki banyak anggota yang sama: $n(P) = n(Q) = 4$.

Pertanyaan:
Berapakah banyak korespondensi satu-satu yang mungkin terbentuk antara himpunan $P$ dan $Q$? ($n! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$). (Tuliskan dalam angka)

Jawaban: 24

📌 Soal 6 (Uraian / Esai dengan Rubrik - Konteks Tarik Tarif Taksi Online)

Wacana:
Sebuah penyedia jasa taksi online menetapkan tarif perjalanan berdasarkan jarak yang ditempuh ($x$ dalam km): $$f(x) = 4.000x + 8.000$$

Pertanyaan:

1. Hitunglah tarif yang harus dibayar oleh penumpang untuk perjalanan sejauh $12\text{ km}$!
2. Jika seorang penumpang membayar total tarif sebesar Rp68.000,00, berapakah jarak perjalanan yang ditempuh penumpang tersebut?

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. $f(12) = 4.000(12) + 8.000 = 48.000 + 8.000 = \mathbf{\text{Rp56.000,00}}$.
2. $4.000x + 8.000 = 68.000 \rightarrow 4.000x = 60.000 \rightarrow x = \mathbf{15\text{ km}}$.

📑 Rubrik Penilaian Analitik:

📌 Soal 7 (Pilihan Ganda Sederhana - Konteks Menentukan Rumus Fungsi Linier)

Wacana:
Suatu fungsi linier dirumuskan oleh $f(x) = ax + b$. Diketahui nilai $f(1) = 5$ dan nilai $f(3) = 11$.

Pertanyaan:
Bentuk rumus fungsi $f(x)$ tersebut adalah ….

• A. $f(x) = 3x + 2$
• B. $f(x) = 2x + 3$
• C. $f(x) = 3x - 2$
• D. $f(x) = 4x + 1$

Jawaban: A

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Susun sistem persamaan:
   • $f(1) = a(1) + b = 5 \rightarrow a + b = 5$
   • $f(3) = a(3) + b = 11 \rightarrow 3a + b = 11$
2. Kurangkan persamaan: $$(3a + b) - (a + b) = 11 - 5 \rightarrow 2a = 6 \rightarrow \mathbf{a = 3}$$
3. Substitusi $a = 3$: $$3 + b = 5 \rightarrow \mathbf{b = 2}$$
4. Maka rumus fungsinya adalah $\mathbf{f(x) = 3x + 2}$.

📌 Soal 8 (Pilihan Ganda Kompleks - Konteks Bentuk Penyajian Relasi)

Wacana:
Dalam matematika, relasi antara dua himpunan dapat disajikan dalam berbagai macam bentuk visual.

Pertanyaan:
Manakah di antara bentuk berikut yang BENAR merupakan cara resmi menyajikan relasi? (Jawaban benar lebih dari satu)

• A. Diagram Panah (menghubungkan anggota domain ke kodomain dengan tanda panah).
• B. Himpunan Pasangan Berurutan (dituliskan dalam kurung kurawal ${(x, y)}$).
• C. Diagram Kartesius (menggunakan sumbu-$x$ daerah asal dan sumbu-$y$ daerah kawan).
• D. Diagram Lingkaran Pie Chart.

Jawaban: A, B, C

📌 Soal 9 (Benar / Salah - Syarat Utama Korespondensi Satu-Satu)

Wacana:
Suatu relasi khusus dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ disebut korespondensi satu-satu jika setiap anggota $A$ tepat berpasangan dengan satu anggota $B$, dan sebaliknya.

Pertanyaan:
Tentukan apakah pernyataan berikut BENAR atau SALAH!

“Syarat mutlak agar korespondensi satu-satu dapat dibentuk adalah banyak anggota kedua himpunan harus sama besar ($n(A) = n(B)$).”

Jawaban: BENAR

📌 Soal 10 (Uraian / Esai dengan Rubrik - Konteks Tagihan Air Minum PDAM)

Wacana:
Tagihan air PDAM rumah tangga terdiri dari dua komponen: biaya beban tetap berlangganan sebesar Rp15.000,00 per bulan dan biaya pemakaian air sebesar Rp3.000,00 per $\text{m}^3$. Model fungsi biaya tagihan air per bulan ($C$) terhadap volume pemakaian air ($x$ dalam $\text{m}^3$) dirumuskan sebagai: $$C(x) = 3.000x + 15.000$$

Pertanyaan:

1. Hitunglah besar tagihan air PDAM yang harus dibayar jika keluarga Pak Ahmad menggunakan air sebanyak $25\text{ m}^3$ dalam satu bulan!
2. Jika tagihan PDAM rumah Bu Nita pada bulan tersebut mencakup total pembayaran sebesar Rp105.000,00, berapakah volume pemakaian air rumah Bu Nita dalam $\text{m}^3$?

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Tagihan Pemakaian $x = 25\text{ m}^3$: $$C(25) = 3.000(25) + 15.000 = 75.000 + 15.000 = \mathbf{\text{Rp90.000,00}}$$
2. Volume Pemakaian dari Tagihan Rp105.000,00: $$C(x) = 105.000 \rightarrow 3.000x + 15.000 = 105.000$$ $$3.000x = 105.000 - 15.000 \rightarrow 3.000x = 90.000$$ $$x = \frac{90.000}{3.000} = \mathbf{30\text{ m}^3\text{ air}}$$

📑 Rubrik Penilaian Analitik: