Soal Bentuk Akar (Kelas 8)

Kerjakan soal-soal standar AKM Numerasi berikut secara mandiri, lalu pelajari langkah penyelesaian dan analisis miskonsepsinya.

📌 Soal 1 (Pilihan Ganda Sederhana - Konteks Diagonal Ruang / Penyarana Akar)

Wacana:
Dalam perhitungan geometri, sebuah persegi memiliki luas $72\text{ cm}^2$. Panjang sisi persegi tersebut dinyatakan dalam bentuk akar radikal $\sqrt{72}\text{ cm}$.

Pertanyaan:
Bentuk penyederhanaan paling sederhana dari $\sqrt{72}$ adalah ….

• A. $6\sqrt{2}$
• B. $8\sqrt{2}$
• C. $6\sqrt{3}$
• D. $12\sqrt{2}$

Jawaban: A

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Cari faktor kuadrat terbesar dari $72$: $72 = 36 \times 2$.
2. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \mathbf{6\sqrt{2}}$.

🔍 Analisis Pengecekan Miskonsepsi:

• Opsi B ($8\sqrt{2}$) [SALAH]: Miskonsepsi membagi $72 \div 9 = 8$ lalu mengeluarkan $\sqrt{9} \times \sqrt{8}$ namun belum sederhana.

📌 Soal 2 (Pilihan Ganda Kompleks - Konteks Pengukuran Diagonal Ubin & Kawat Penopang)

Wacana:
Seorang arsitek dan teknisi bangunan mengukur panjang diagonal ubin granit dan kawat penopang tiang yang dinyatakan dalam bentuk radikal akar kuadrat.

Pertanyaan:
Manakah pernyataan penyederhanaan bentuk radikal akar berikut yang BENAR? (Jawaban benar lebih dari satu)

• A. Diagonal ubin $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\text{ meter}$.
• B. Panjang kawat $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\text{ meter}$.
• C. Diagonal kabel $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\text{ meter}$.
• D. $\sqrt{45} = 9\sqrt{5}$.

Jawaban: A, B, C

📌 Soal 3 (Menjodohkan - Konteks Pengukuran Lahan Kavling)

Wacana:
Petugas pertanahan mendata bentuk sederhana dari ukuran diagonal lahan kavling yang tercantum pada denah peta digital.

Pertanyaan:
Jodohkanlah bentuk radikal akar di Kolom Kiri dengan bentuk penyederhanaannya di Kolom Kanan!

Jawaban Pasangan Benar: 1-B, 2-A, 3-C.

📌 Soal 4 (Benar / Salah - Konteks Perkalian Dimensi Bingkai Kayu)

Wacana:
Seorang pengrajin bingkai kayu mengalikan dua komponen diagonal bingkai foto berukuran $\sqrt{2}\text{ cm}$ dan $\sqrt{8}\text{ cm}$.

Pertanyaan:
Tentukan apakah pernyataan berikut BENAR atau SALAH!

“Hasil perkalian luas bingkai dari $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$ adalah bernilai bulat $4\text{ cm}^2$.”

Jawaban: BENAR

📌 Soal 5 (Jawaban Singkat - Konteks Sambungan Kawat Tembaga)

Wacana:
Seorang teknisi listrik menyambungkan tiga utas kawat tembaga penyangga dengan panjang masing-masing $3\sqrt{5}\text{ m}$, $2\sqrt{5}\text{ m}$, dan dipotong $\sqrt{5}\text{ m}$ ($3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - \sqrt{5}$).

Pertanyaan:
Berapakah bentuk sederhana dari total panjang kawat tembaga tersebut? (Tuliskan misal: 4 akar 5)

Jawaban: 4√5 (atau 4 akar 5)

📌 Soal 6 (Uraian / Esai dengan Rubrik - Konteks Merasionalkan Penyebut Pecahan)

Wacana:
Sebuah rumus fisika gelombang menghasilkan nilai pecahan berakar pada penyebutnya: $\frac{6}{\sqrt{3}}$.

Pertanyaan:

1. Jelaskan mengapa bentuk pecahan tersebut perlu dirasionalkan!
2. Rasionalkan penyebut dari pecahan $\frac{6}{\sqrt{3}}$ tersebut hingga diperoleh bentuk paling sederhana!

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Merasionalkan bertujuan mengubah penyebut irasional menjadi rasional (tanpa akar) untuk mempermudah perhitungan.
2. $\frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = \mathbf{2\sqrt{3}}$.

📑 Rubrik Penilaian Analitik:

📌 Soal 7 (Pilihan Ganda Sederhana - Konteks Kayu Penopang Pohon Taman)

Wacana:
Tukang taman menyambungkan dua buah kayu penopang pohon yang panjangnya masing-masing $\sqrt{12}\text{ meter}$ dan $\sqrt{27}\text{ meter}$ ($\sqrt{12} + \sqrt{27}$).

Pertanyaan:
Hasil penyederhanaan dan penjumlahan dari $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ tersebut adalah ….

• A. $\sqrt{39}$
• B. $5\sqrt{3}$
• C. $6\sqrt{3}$
• D. $5\sqrt{6}$

Jawaban: B

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Sederhanakan masing-masing akar:
   • $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
   • $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
2. Penjumlahan suku akar sejenis: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (2 + 3)\sqrt{3} = \mathbf{5\sqrt{3}}$.

🔍 Analisis Pengecekan Miskonsepsi:

• Opsi A ($\sqrt{39}$) [SALAH]: Siswa mengalami miskonsepsi fatal dengan menjumlahkan angka di dalam akar ($\sqrt{12+27} = \sqrt{39}$).

📌 Soal 8 (Pilihan Ganda Kompleks - Konteks Merasionalkan Penyebut Dua Suku)

Wacana:
Diberikan pecahan dengan penyebut bentuk dua suku berakar: $\frac{4}{3 - \sqrt{5}}$.

Pertanyaan:
Manakah pernyataan berikut yang BENAR mengenai proses merasionalkan pecahan tersebut? (Jawaban benar lebih dari satu)

• A. Faktor sekawan dari penyebut $(3 - \sqrt{5})$ adalah $(3 + \sqrt{5})$.
• B. Perkalian penyebut dengan sekawannya menghasilkan $(3)^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.
• C. Bentuk rasional paling sederhana dari pecahan tersebut adalah $3 + \sqrt{5}$.
• D. Hasil perasionalannya adalah $12 + 4\sqrt{5}$.

Jawaban: A, B, C

📌 Soal 9 (Benar / Salah - Sifat Perkalian Radikal)

Wacana:
Sifat dasar radikal menyatakan bahwa untuk bilangan riil non-negatif $a, b \ge 0$, berlaku $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.

Pertanyaan:
Tentukan apakah pernyataan berikut BENAR atau SALAH!

“Nilai dari $\sqrt{4 \times 9}$ sama dengan nilai dari $\sqrt{4} \times \sqrt{9}$ yaitu $6$.”

Jawaban: BENAR

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

• $\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$. Kedua nilai sama persis ($6 = 6$). Maka pernyataan BENAR.

📌 Soal 10 (Uraian / Esai dengan Rubrik - Konteks Keliling & Luas Pekarangan Bentuk Akar)

Wacana:
Pak Made memiliki sebidang tanah pekarangan berbentuk persegi panjang. Ukuran panjang tanah tersebut adalah $4\sqrt{3}\text{ meter}$ dan lebarnya adalah $2\sqrt{3}\text{ meter}$.

Pertanyaan:

1. Hitunglah luas pekarangan tanah Pak Made dalam satuan meter persegi ($\text{m}^2$)!
2. Hitunglah keliling pekarangan tanah tersebut dalam bentuk akar paling sederhana!

💡 Pembahasan Langkah demi Langkah:

1. Luas Pekarangan ($L$): $$L = p \times l = (4\sqrt{3}) \times (2\sqrt{3}) = (4 \times 2) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 8 \times 3 = \mathbf{24\text{ m}^2}$$
2. Keliling Pekarangan ($K$): $$K = 2 \times (p + l) = 2 \times (4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 2 \times (6\sqrt{3}) = \mathbf{12\sqrt{3}\text{ meter}}$$

📑 Rubrik Penilaian Analitik: